Арифметический квадратный корень

Найти $\sqrt{a}$ — значит найти неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Квадрат равен 9 у двух чисел, $3$ и $-3$, но $\sqrt{9} = 3$: корень не бывает отрицательным. Корня из отрицательного числа нет, потому что квадрат любого числа неотрицателен: запись $\sqrt{-4}$ не имеет смысла.

Полный квадрат — квадрат целого числа: $1, 4, 9, \ldots, 400$. Корень из полного квадрата находят по таблице квадратов: $\sqrt{196} = 14$, потому что $14^2 = 196$. Из других натуральных чисел корень нацело не извлекается, его оценивают целыми числами.

У десятичной дроби с чётным числом знаков после запятой корень извлекают без запятой, а потом ставят запятую. Знаков после запятой у корня вдвое меньше. $\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$, потому что $12^2 = 144$ и $1{,}2^2 = 1{,}44$.

По определению $(\sqrt{a})^2 = a$: квадрат корня равен числу под корнем, $(\sqrt{7})^2 = 7$. Если перед корнем стоит число, в квадрат возводят оба множителя: $(k\sqrt{a})^2 = k^2 \cdot a$.

$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ при $a \ge 0$, $b \ge 0$. Корень из произведения полных квадратов равен произведению их корней: $\sqrt{16 \cdot 25} = 4 \cdot 5 = 20$. В обратную сторону произведение корней собирают под один корень, когда под ним получается полный квадрат: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$.

Для суммы такой формулы нет. Корень суммы считают целиком: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ при $a \ge 0$, $b > 0$. Корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя: $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$. В обратную сторону частное корней собирают под один корень и сначала сокращают дробь под ним.

$\sqrt{a^2} = |a|$ при любом $a$. Корень не бывает отрицательным, поэтому для отрицательного $a$ получается противоположное число: $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$. Это модуль числа.

С буквами правило то же: $\sqrt{A^2} = |A|$ для любого выражения.

Чтобы извлечь корень из степени, запишите её как квадрат: при чётном показателе разделите его на 2, $\sqrt{4^6} = \sqrt{(4^3)^2} = 4^3 = 64$. При нечётном показателе основание должно быть полным квадратом: запишите его квадратом другого числа, и показатель станет чётным: $9^3 = (3^2)^3 = 3^6$, поэтому $\sqrt{9^3} = 3^3 = 27$.