тема 3 из 12

Степень с целым показателем и её свойства

Степень $a^n$ с натуральным $n$ — произведение $n$ множителей, равных $a$ . Нулевую и отрицательную степень определяют так, чтобы свойства степени выполнялись всегда: $a^0 = 1$ , $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ . Чтобы найти значение выражения, соберите показатели у каждого основания и только потом вычисляйте.

Главная тема в задании8Реже в задании12На карте навыков

Свойства степени
—В аналитике

Свойства степени

Для $a \ne 0$ , $b \ne 0$ и целых $m$ и $n$ :

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n}$ при натуральном $n$ , $a^0 = 1$ , $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ .
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$ .
$(a^m)^n = a^{mn}$ .
$(ab)^n = a^n b^n$ и $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ .
Метод: запишите выражение как одну степень каждого основания, сложите и вычтите показатели, потом вычислите. Если даны буквы, сначала упростите, потом подставьте число.

Лесенка степеней

2^{-3} = \frac{1}{8}

a

\cdot 2

\cdot 2

\cdot 2

\cdot 2

\cdot 2

\cdot 2

\cdot 2

: 2

: 2

: 2

: 2

: 2

: 2

: 2

2^{-3} = 1 : 2 : 2 : 2 = \frac{1}{8}

2^{-3} = \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8}

Шаг вправо — умножение на основание, шаг влево — деление на него. Поэтому

a^0 = a^1 : a = 1

, а

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

. Нажимайте на ступеньки и меняйте основание.

Умножение и деление степеней

При умножении степеней с одним основанием показатели складывают: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ . При делении показатель делителя вычитают: $a^m : a^n = a^{m-n}$ . Дробная черта — тоже деление, поэтому показатель знаменателя вычитают из показателя числителя. Если показатель делителя отрицательный, минус на минус даёт плюс: $5^3 : 5^{-2} = 5^{3 + 2} = 5^5$ . Число без показателя запишите степенью того же основания: $\frac{2^5}{4} = \frac{2^5}{2^2} = 2^3$ .

Пример

Найдите значение выражения $\frac{3^{-4} \cdot 3^{9}}{3^{3}}$ .

1.Числитель: $3^{-4} \cdot 3^{9} = 3^{-4 + 9} = 3^{5}$ .
2.Дробь: $\frac{3^5}{3^3} = 3^{5 - 3} = 3^2$ .
3. $3^2 = 9$ .

Ответ: $9$

Степень степени

При возведении степени в степень показатели умножают: $(a^m)^n = a^{mn}$ . Знак произведения показателей определяют по правилу знаков: $(2^{11})^{-2} = 2^{-22}$ , $(2^{-3})^{-4} = 2^{12}$ . Сначала возведите степень в степень, потом соберите показатели.

Пример

Найдите значение выражения $\frac{(5^{4})^{-3}}{5^{-14}}$ .

1. $(5^4)^{-3} = 5^{4 \cdot (-3)} = 5^{-12}$ .
2. $\frac{5^{-12}}{5^{-14}} = 5^{-12 - (-14)} = 5^{2}$ .
3. $5^2 = 25$ .

Ответ: $25$

Отрицательный показатель

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ : отрицательный показатель означает дробь с единицей в числителе, а число не становится отрицательным. $2^{-3} = \frac{1}{8} = 0{,}125$ . В обратную сторону $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$ и $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$ : степень переходит через дробную черту со сменой знака показателя.

Пример

Найдите значение выражения $\frac{1}{2^{-9}} \cdot \frac{1}{2^{6}}$ .

1. $\frac{1}{2^{-9}} = 2^{9}$ и $\frac{1}{2^{6}} = 2^{-6}$ .
2. $2^9 \cdot 2^{-6} = 2^{9 - 6} = 2^3$ .
3. $2^3 = 8$ .

Ответ: $8$

Степени с буквой

Если в выражении есть буква и дано её значение, сначала соберите показатели, потом подставьте число. Степень получается маленькой, и считать почти не нужно.

Пример

Найдите значение выражения $a^{7} \cdot a^{5} : a^{10}$ при $a = 3$ .

1. $a^7 \cdot a^5 : a^{10} = a^{7 + 5 - 10} = a^2$ .
2.При $a = 3$ : $3^2 = 9$ .

Ответ: $9$

Степень произведения

В степень возводят каждый множитель произведения: $(ab)^n = a^n b^n$ . Поэтому $(ab)^{16} = a^{16} b^{16}$ , и показатели собирают отдельно у $a$ и отдельно у $b$ .

Пример

Найдите значение выражения $\frac{a^{20} \cdot (b^{3})^{5}}{(ab)^{15}}$ при $a = 4$ , $b = 7$ .

1. $(b^3)^5 = b^{15}$ и $(ab)^{15} = a^{15} b^{15}$ .
2. $\frac{a^{20} b^{15}}{a^{15} b^{15}} = a^{20 - 15} \cdot b^{15 - 15} = a^5 \cdot b^0 = a^5$ .
3.При $a = 4$ : $4^5 = 1024$ . Значение $b$ не нужно.

Ответ: $1024$

Составное основание

Если основания разные, разложите составное основание на множители, которые уже есть в выражении: $22^7 = (2 \cdot 11)^7 = 2^7 \cdot 11^7$ . Потом соберите показатели отдельно у каждого основания.

Пример

Найдите значение выражения $\frac{3^{9} \cdot 5^{6}}{15^{6}}$ .

1. $15^6 = (3 \cdot 5)^6 = 3^6 \cdot 5^6$ .
2. $\frac{3^9 \cdot 5^6}{3^6 \cdot 5^6} = 3^{9 - 6} \cdot 5^{6 - 6} = 3^3 \cdot 5^0 = 3^3$ .
3. $3^3 = 27$ .

Ответ: $27$

Разные основания

\displaystyle \frac{14^{5}}{2^{3} \cdot 7^{4}}

$\displaystyle = \frac{2^{5} \cdot 7^{5}}{2^{3} \cdot 7^{4}}$

Шаг 1 из 3

14 = 2 \cdot 7

: в степень возводят каждый множитель,

(ab)^n = a^n b^n

Каждое основание раскладывают на простые множители, и показатели собирают отдельно у каждого простого числа. Нажимайте «Дальше», чтобы увидеть шаг. Кнопка со стрелками даёт другое выражение.

Минус в основании

Минус в основании — множитель $-1$ : $(-a)^n = (-1)^n a^n$ . Чётная степень $-1$ равна 1, нечётная равна $-1$ , поэтому $(-a)^4 = a^4$ и $(-a)^3 = -a^3$ при любом $a$ . Без скобок минус не входит в основание: степень раньше знака перед ней.

Пример

Найдите значение выражения $a^{3} \cdot (-a)^{2}$ при $a = -2$ .

1. $(-a)^2 = a^2$ , потому что показатель чётный.
2. $a^3 \cdot a^2 = a^5$ .
3.При $a = -2$ : $(-2)^5 = -32$ .

Ответ: $-32$

Степени, которые полезно помнить

Основание	Степени
$2$	$2^2 = 4$ , $2^3 = 8$ , $2^4 = 16$ , $2^5 = 32$ , $2^6 = 64$ , $2^7 = 128$
$3$	$3^2 = 9$ , $3^3 = 27$ , $3^4 = 81$ , $3^5 = 243$
$4$	$4^2 = 16$ , $4^3 = 64$ , $4^4 = 256$
$5$	$5^2 = 25$ , $5^3 = 125$ , $5^4 = 625$
$2$	$2^8 = 256$ , $2^9 = 512$ , $2^{10} = 1024$
$3$	$3^6 = 729$
$6$	$6^2 = 36$ , $6^3 = 216$
$7$	$7^2 = 49$ , $7^3 = 343$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать