тема 7 из 12

Многочлены

Многочлен — сумма одночленов. Чтобы упростить его, раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: сложите коэффициенты слагаемых с одинаковой буквенной частью. Слагаемые с одинаковым корнем тоже подобные: $16\sqrt{3} - 16\sqrt{3} = 0$ .

Реже в задании8На карте навыков

Как упростить многочлен

Упрощают в два шага: раскрывают скобки, потом приводят подобные слагаемые.

Скобки раскрывают по правилу раскрытия скобок: минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого, множитель перед скобкой умножают на каждое слагаемое.
Скобку на скобку умножают так: каждое слагаемое первой скобки — на каждое слагаемое второй: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ .
Подобные слагаемые отличаются только коэффициентом. Их коэффициенты складывают, а общую часть оставляют: $5x - 2x = 3x$ .

Подобные слагаемые

Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть: $3ab$ и $-7ab$ подобны, а $3ab$ и $3a^2b$ нет. Слагаемые с одинаковым корнем тоже подобны, корень играет роль буквы: $5\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ . Числа без букв и корней подобны между собой.

Пример

Найдите значение выражения $5a^2b - 3ab + 2ab - 4a^2b$ при $a = 2$ , $b = 3$ .

1.Подобные: $5a^2b - 4a^2b = a^2b$ и $-3ab + 2ab = -ab$ . Слагаемые $a^2b$ и $ab$ не подобны.
2. $a^2b - ab = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 3 = 12 - 6$ .

Ответ: $6$

Минус перед скобкой

С буквами скобки раскрывают так же, как с числами, по правилу раскрытия скобок. Число со знаком перед скобкой умножают на каждое слагаемое по правилу знаков: $-3(x - 4) = -3x + 12$ . После раскрытия приведите подобные слагаемые.

Пример

Найдите значение выражения $4a - (3a - 8)$ при $a = 2{,}5$ .

1. $4a - (3a - 8) = 4a - 3a + 8$ .
2.Подобные: $4a - 3a = a$ , остаётся $a + 8$ .
3.При $a = 2{,}5$ : $2{,}5 + 8 = 10{,}5$ .

Ответ: $10{,}5$

Множитель на скобку

Множитель перед скобкой умножают на каждое слагаемое: $a(b + c) = ab + ac$ . С буквами после этого приводят подобные слагаемые. С корнем перед скобкой так же: $\sqrt{5}(\sqrt{20} + \sqrt{5}) = \sqrt{100} + 5$ . Произведение корней собирают под один корень.

Пример

Найдите значение выражения $2a(a + 3) - 2a^2$ при $a = -1{,}5$ .

1.Раскройте скобку: $2a \cdot a + 2a \cdot 3 - 2a^2 = 2a^2 + 6a - 2a^2$ .
2.Подобные: $2a^2 - 2a^2 = 0$ , остаётся $6a$ .
3.При $a = -1{,}5$ : $6 \cdot (-1{,}5) = -9$ .

Ответ: $-9$

Скобка на скобку

Каждое слагаемое первой скобки умножают на каждое слагаемое второй: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$ . Из двух скобок по два слагаемых получается четыре произведения, затем приводят подобные слагаемые. Если скобки похожи на $(a - b)(a + b)$ или на квадрат, быстрее формула.

Пример

Найдите значение выражения $(x + 3)(x - 5) - x^2 + 2x$ при $x = 7$ .

1. $(x + 3)(x - 5) = x^2 - 5x + 3x - 15 = x^2 - 2x - 15$ .
2. $x^2 - 2x - 15 - x^2 + 2x = -15$ .
3.Значение не зависит от $x$ .

Ответ: $-15$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать