тема 5 из 12

Формулы сокращённого умножения

На ОГЭ нужны три формулы: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Слева направо они раскрывают скобки без умножения скобки на скобку, справа налево сворачивают выражение. В задании 8 они убирают корни: $(\sqrt{a} - b)(\sqrt{a} + b) = a - b^2$ .

Главная тема в задании20Реже в задании8На карте навыков

Формулы сокращённого умножения
—В аналитике

Три формулы

Для любых чисел и выражений $a$ и $b$ :

Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .
Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ .
Разность квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ .
Слева направо формулы раскрывают скобки, справа налево — сворачивают выражение в квадрат или в произведение.

Формулы на клетках

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

a

3

b

2

(3 + 2)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2 + 2^2

25 = 9 + 12 + 4

Квадрат

5 \times 5

= квадрат

3 \times 3

+ два прямоугольника

3 \times 2

+ квадрат

2 \times 2

Квадрат со стороной

a + b

складывается из квадратов

a^2

b^2

и двух прямоугольников

ab

: отсюда

2ab

. Из квадрата

a^2

без угла

b^2

складывается прямоугольник

(a - b)(a + b)

. Двигайте ползунки и переключайте формулу.

Разность квадратов убирает корень

Произведение разности и суммы двух чисел равно разности их квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ . Если одно из чисел — корень, его квадрат — число под корнем, и корень исчезает: $(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = 5 - 3 = 2$ .

Пример

Найдите значение выражения $(\sqrt{29} - 4)(\sqrt{29} + 4)$ .

1.Это $(a - b)(a + b)$ при $a = \sqrt{29}$ , $b = 4$ .
2. $a^2 - b^2 = (\sqrt{29})^2 - 4^2 = 29 - 16$ .
3. $29 - 16 = 13$ .

Ответ: $13$

Квадрат суммы и квадрат разности

$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ : квадрат первого, удвоенное произведение, квадрат второго. Знак удвоенного произведения — знак в скобке. Если в выражении есть ещё слагаемое, противоположное удвоенному произведению, они дают ноль: это подобные слагаемые.

Пример

Найдите значение выражения $(\sqrt{13} - 3)^2 + 6\sqrt{13}$ .

1. $(\sqrt{13} - 3)^2 = 13 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{13} + 9 = 22 - 6\sqrt{13}$ .
2. $22 - 6\sqrt{13} + 6\sqrt{13} = 22$ .

Ответ: $22$

Как узнать полный квадрат

Трёхчлен — полный квадрат, если два слагаемых — квадраты $A^2$ и $B^2$ , а третье равно $\pm 2AB$ . Тогда $A^2 \pm 2AB + B^2 = (A \pm B)^2$ , знак в скобке — знак удвоенного произведения. Под корнем такой квадрат даёт модуль.

Пример

Найдите значение выражения $x^2 - 10xy + 25y^2$ при $x = 13$ , $y = 2$ .

1. $25y^2 = (5y)^2$ и $10xy = 2 \cdot x \cdot 5y$ , поэтому $x^2 - 10xy + 25y^2 = (x - 5y)^2$ .
2. $x - 5y = 13 - 10 = 3$ .
3. $3^2 = 9$ .

Ответ: $9$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать