тема 6 из 12

Корень из квадрата выражения

Корень из квадрата любого выражения равен его модулю: $\sqrt{A^2} = |A|$ . Корень не бывает отрицательным, поэтому знак модуля нельзя терять, когда выражение может быть меньше нуля. Под корнем часто стоит полный квадрат, который сначала надо свернуть.

Реже в задании8На карте навыков

Корень из квадрата
—В аналитике

Корень из квадрата

$\sqrt{A^2} = |A|$ для любого выражения $A$ .

Запишите выражение под корнем как квадрат: $x^4 = (x^2)^2$ , $a^2 + 6ab + 9b^2 = (a + 3b)^2$ .
Извлеките корень и поставьте модуль: $\sqrt{(a + 3b)^2} = |a + 3b|$ .
Подставьте числа и найдите модуль. Если выражение заведомо неотрицательно ( $x^2$ , $y^4$ ), модуль можно не писать.

Почему получается модуль

Корень — неотрицательное число, квадрат которого равен числу под корнем. У $A^2$ таких чисел два, $A$ и $-A$ (при $A = 0$ они совпадают), и корень — то из них, которое не меньше нуля. Это и есть модуль $|A|$ . Для числа это то же правило $\sqrt{a^2} = |a|$ .

Пример

Найдите значение выражения $\sqrt{(x - 9)^2}$ при $x = 4$ .

1. $\sqrt{(x - 9)^2} = |x - 9|$ .
2. $x - 9 = 4 - 9 = -5$ .
3. $|-5| = 5$ . Ответ $-5$ неверен: корень не бывает отрицательным.

Ответ: $5$

Полный квадрат под корнем

Если под корнем трёхчлен вида $A^2 \pm 2AB + B^2$ , сверните его по формуле квадрата. Тогда $\sqrt{A^2 \pm 2AB + B^2} = |A \pm B|$ . Так не нужно считать каждое слагаемое, а знак модуля учитывает отрицательное значение.

Пример

Найдите значение выражения $\sqrt{9a^2 + 6ab + b^2}$ при $a = \frac{2}{7}$ , $b = 4\frac{1}{7}$ .

1. $9a^2 = (3a)^2$ и $6ab = 2 \cdot 3a \cdot b$ , поэтому $9a^2 + 6ab + b^2 = (3a + b)^2$ .
2. $\sqrt{(3a + b)^2} = |3a + b|$ .
3. $3a + b = \frac{6}{7} + 4\frac{1}{7} = 5$ , $|5| = 5$ .

Ответ: $5$

Чётная степень под корнем

Чётную степень запишите как квадрат: $\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = x^2$ , $\sqrt{y^6} = \sqrt{(y^3)^2} = |y^3|$ . Модуль нужен, только если половина показателя нечётная: $x^2$ не бывает отрицательным, а $y^3$ бывает. Корень из дроби с буквами — дробь из корней.

Пример

Найдите значение выражения $\sqrt{\frac{16x^2}{y^4}}$ при $x = -6$ , $y = 2$ .

1. $\sqrt{\frac{16x^2}{y^4}} = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{x^2}}{\sqrt{y^4}} = \frac{4|x|}{y^2}$ .
2. $|x| = 6$ и $y^2 = 4$ .
3. $\frac{4 \cdot 6}{4} = 6$ .

Ответ: $6$

Степени под корнем

Сначала соберите произведение или частное под корнем в одну степень по свойствам степени: $\frac{a^{19}}{a^{11}} = a^8$ . Чётная степень убирает минус: $(-a)^4 = a^4$ . Потом извлеките корень из чётной степени.

Пример

Найдите значение выражения $\sqrt{a^2 \cdot (-a)^4}$ при $a = 3$ .

1. $(-a)^4 = a^4$ , поэтому $a^2 \cdot (-a)^4 = a^6$ .
2. $\sqrt{a^6} = \sqrt{(a^3)^2} = |a^3|$ .
3.При $a = 3$ : $|3^3| = 27$ .

Ответ: $27$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать