тема 9 из 12

Вынесение множителя из-под корня и корень в знаменателе

Если под корнем есть множитель — полный квадрат, его выносят: $\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ . Так корни приводят к одному виду и складывают как подобные слагаемые. Корень в знаменателе убирают: домножают дробь на корень или на сопряжённое выражение.

Реже в заданиях8 20На карте навыков

Множитель и корень

Для $a \ge 0$ и $b \ge 0$ :

Вынесение: $\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b}$ . Разложите число под корнем так, чтобы один множитель был наибольшим полным квадратом.
Внесение: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ . Множитель возводят в квадрат и умножают на число под корнем.
Корни с одинаковым числом под корнем складывают как подобные слагаемые: $3\sqrt{5} - \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$ .
Корень в знаменателе: $\frac{c}{\sqrt{b}} = \frac{c\sqrt{b}}{b}$ и $\frac{c}{a + \sqrt{b}} = \frac{c(a - \sqrt{b})}{a^2 - b}$ при $a^2 \ne b$ .

Вынесение множителя

Разложите число под корнем на два множителя: наибольший полный квадрат из таблицы квадратов и остаток. Корень из квадрата выносят перед корнем: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ . Если взять не наибольший квадрат, вынесение надо повторить: $\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ .

Пример

Упростите $\sqrt{50} - \sqrt{18}$ .

1. $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ и $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ .
2. $5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ : это подобные слагаемые.

Ответ: $2\sqrt{2}$

Произведение корней с множителями

Числа перед корнями и корни перемножают отдельно: $k\sqrt{a} \cdot m\sqrt{b} = km\sqrt{ab}$ . Корни собирают под один корень, и под ним обычно получается полный квадрат.

Пример

Найдите значение выражения $3\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}$ .

1.Числа: $3 \cdot 2 = 6$ . Корни: $\sqrt{5 \cdot 2 \cdot 10} = \sqrt{100} = 10$ .
2. $6 \cdot 10 = 60$ .

Ответ: $60$

Внесение множителя

Чтобы внести множитель под корень, возведите его в квадрат: $3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$ . Так сравнивают положительные числа вида $a\sqrt{b}$ : после внесения больше то число, у которого больше подкоренное выражение. Отрицательный множитель вносят без минуса: $-2\sqrt{3} = -\sqrt{12}$ .

Пример

Какое число больше: $2\sqrt{7}$ или $3\sqrt{3}$ ?

1. $2\sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$ .
2. $3\sqrt{3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$ .
3. $28 > 27$ , поэтому $\sqrt{28} > \sqrt{27}$ .

Ответ: $2\sqrt{7}$

Корень в знаменателе

Если в знаменателе один корень, домножьте числитель и знаменатель на этот корень: $\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ . Если в знаменателе сумма или разность с корнем, домножьте на сопряжённое выражение: для $a + \sqrt{b}$ это $a - \sqrt{b}$ . Знаменатель становится разностью квадратов без корня.

Пример

Найдите значение выражения $\frac{1}{3 - \sqrt{8}} - \sqrt{8}$ .

1.Домножьте дробь на $3 + \sqrt{8}$ : $\frac{3 + \sqrt{8}}{(3 - \sqrt{8})(3 + \sqrt{8})}$ .
2.Знаменатель: $3^2 - (\sqrt{8})^2 = 9 - 8 = 1$ . Дробь равна $3 + \sqrt{8}$ .
3. $3 + \sqrt{8} - \sqrt{8} = 3$ .

Ответ: $3$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать