Решение:
Для нахождения значения косинуса воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:
$$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$$
Выразим из этой формулы квадрат косинуса:
$$\cos^{2} \alpha = 1 - \sin^{2} \alpha$$
Подставим известное по условию значение синуса $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{51}}{10}$ в полученное выражение:
$$\cos^{2} \alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{51}}{10}\right)^{2} = 1 - \frac{51}{100} = \frac{49}{100}$$
Следовательно, $\cos \alpha$ может принимать значения $\frac{7}{10}$ или $-\frac{7}{10}$.
Выберем нужный знак, опираясь на заданный промежуток: угол $\alpha$ принадлежит третьей четверти $\left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$. В этой четверти косинус принимает только отрицательные значения.
Таким образом, $\cos \alpha = -0,7$.

Ответ: -0,7

Источник: ФИПИ