Решение:
Для вычисления значения выражения $\frac{\log _{5} 2}{\log _{5} 13} + \log _{13} 0{,}5$ воспользуемся свойствами логарифмов.

1) Сначала преобразуем дробь, применив формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$:
$$\frac{\log _{5} 2}{\log _{5} 13} = \log _{13} 2$$

2) Теперь подставим полученный результат в исходное выражение и воспользуемся правилом сложения логарифмов с одинаковыми основаниями $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:
$$\log _{13} 2 + \log _{13} 0{,}5 = \log _{13} (2 \cdot 0{,}5) = \log _{13} 1$$

Так как логарифм единицы по любому допустимому основанию равен нулю, получаем:
$$\log _{13} 1 = 0$$

Ответ: 0

Источник: ФИПИ