Задание №9 — Треугольники

Решение:
Для начала определим длину стороны данного равностороннего треугольника, используя сетку. Видно, что сторона $a$ составляет 6 единиц. Для вычисления площади правильного треугольника воспользуемся двумя известными формулами: $$S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \quad \text{и} \quad S = \frac{abc}{4R},$$ где $R$ обозначает радиус описанной около него окружности. Поскольку в нашем случае треугольник равносторонний, произведение всех его сторон $abc$ можно записать как $a^3$.

Приравняем эти выражения для площади, подставив значение стороны $a = 6$: $$\frac{6^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 6}{4 R}$$ Из полученного уравнения выразим радиус: $$R = \frac{6}{\sqrt{3}}$$ Теперь возведем результат в квадрат, чтобы найти искомое значение: $$R^{2} = \frac{6^{2}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{36}{3} = 12.$$

Ответ: 12

Источник: ФИПИ