Задание №3 — Закон сохранения импульса системы тел

Условие: p₁ = 2 кг$\cdot$м/с; p₂ = 3,5 кг$\cdot$м/с; $p_{1}^{'}$ = 2,5 кг⋅м/с

Определить: $p_{2}^{'}$ - ?

Ход решения:
Воспользуемся законом сохранения импульса системы:
$p_{1} + p_{2} = p_{1}^{'} + p_{2}^{'} ( 1 )$

Запишем уравнения для проекций векторов на координатные оси x и y:
$\left\{\begin{matrix} p_{1 x} + p_{2 x} = p_{1 x}^{'} + p_{2 x}^{'} ( 2 ) \\ p_{1 y} + p_{2 y} = p_{1 y}^{'} + p_{2 y }^{'} ( 3 ) \end{matrix}\right.$
Здесь $p_{1 x} , p_{2 x} , p_{1 y} , p_{2 y}$ обозначают импульсы тел до их взаимодействия.
 $p_{1 x }^{'} , p_{2 x}^{'} , p_{1 y}^{'} , p_{2 y}^{'}$ соответствуют импульсам тел после удара.
$\left\{\begin{matrix} 2 + 0 = p_{1 x}^{'} + 0 ( 4 ) \\ 0 + 3{,}5 = p_{1 y}^{'} + p_{2 y}^{'} ( 5 ) \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} p_{1 x}^{'} = 2 ( 6 ) \\ p_{1 y}^{'} = 3{,}5 - p_{2 y }^{'} ( 7 ) \end{matrix}\right.$
$p_{1}^{'} = \sqrt{\left(p_{1 x}^{'}\right)^{2} + \left(p_{1 y}^{'}\right)^{2}} = 2{,}5 ( 8 )$

Выполним подстановку выражения (7) в формулу (8):
$\sqrt{2^{2} + \left(( 3{,}5 - p_{2 y}^{'} )\right)^{2}} = 2{,}5 ( 9 )$
$\sqrt{4 + 12{,}25 - 7 p_{2 y}^{'} + \left(p_{2 y}^{'}\right)^{2}} = 2{,}5 ( 10 )$
$4 + 12{,}25 - 7 p_{2 y}^{'} + \left(p_{2 y}^{'}\right)^{2} = 6{,}25 ( 11 )$
$\left(p_{2 y}^{'}\right)^{2} - 7 p_{2 y}^{'} + 10 = 0 ( 12 )$

Находим корни полученного квадратного уравнения:
$p_{2 y}^{'} = 2 кг \cdot м / с$
$p_{2 y}^{'} = 5 кг \cdot м / с$

Учитывая условие $p_{1}^{'} = 3{,}5 - p_{2 y}^{'} > 0 ,$, мы исключаем значение $p_{2 y}^{'} = 5 кг \cdot м / с$ как не имеющее физического смысла в данной задаче.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ