Задание №19 — КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся основным законом радиоактивного распада. Этот закон описывает, как со временем уменьшается количество (или масса) радиоактивных ядер в образце.

Дано:
$m = 0,25 \cdot m_{0}$ — текущая масса изотопа углерода;
$T_{1/2} = 5730$ лет — период полураспада изотопа углерода $\_{6}^{14}C$ (справочная величина для ОГЭ).
Найти:
$t$ — ? (возраст мамонта)

Математическая модель и расчёты:

1. Запишем закон радиоактивного распада для массы вещества:
$m = m_{0} \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$
где $m_{0}$ — начальная масса изотопа в момент гибели организма, $m$ — оставшаяся масса изотопа через время $t$, $T_{1/2}$ — период полураспада.

2. По условию задачи отношение текущей массы к начальной составляет:
$\frac{m}{m_{0}} = 0,25$

3. Подставим это значение в формулу закона распада:
$0,25 = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

4. Представим число $0,25$ как степень двойки:
$0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^{2}} = 2^{-2}$

5. Теперь приравняем показатели степеней:
$2^{-2} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$
$-2 = -\frac{t}{T_{1/2}}$
$2 = \frac{t}{T_{1/2}}$

6. Выразим искомое время $t$:
$t = 2 \cdot T_{1/2}$

7. Подставим значение периода полураспада углерода-14 (согласно табличным данным, он составляет примерно $5730$ лет):
$t = 2 \cdot 5730 \text{ лет} = 11460 \text{ лет}$

Логическое пояснение:
Период полураспада — это время, за которое распадается ровно половина радиоактивных ядер. Если масса уменьшилась в $4$ раза ($0,25$ от начальной), это означает, что прошло ровно два периода полураспада ($\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$). Таким образом, возраст мамонта равен двум периодам полураспада углерода-14.

Ответ: 11460 лет.

Источник: ФИПИ