тема 11 из 12

Разложение многочлена на множители

Разложить многочлен на множители — записать его произведением. Три способа: вынести общий множитель за скобки, сгруппировать слагаемые, применить формулу сокращённого умножения. Квадратный трёхчлен раскладывают через его корни: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Часто в задании20Реже в задании8На карте навыков

Способы разложения

Пробуйте способы по порядку:

Вынесение общего множителя: $ab + ac = a(b + c)$ . Выносят НОД коэффициентов и каждую общую букву в наименьшей степени.
Группировка: соберите слагаемые в пары с общим множителем и вынесите его из каждой пары. Если скобки одинаковые, вынесите скобку.
Формулы сокращённого умножения справа налево: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ , $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$ .
Квадратный трёхчлен: найдите корни $x_1$ , $x_2$ уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ , тогда $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ .

Вынесение общего множителя

Найдите множитель, который есть в каждом слагаемом: НОД коэффициентов и общие буквы в наименьшей степени. Разделите на него каждое слагаемое, частные запишите в скобке: $6x^3 - 9x^2 = 3x^2(2x - 3)$ . Проверка: раскройте скобку и получите исходное выражение.

Пример

Найдите значение выражения $47 \cdot 38 + 47 \cdot 62$ .

1.Общий множитель обоих слагаемых — $47$ .
2. $47 \cdot 38 + 47 \cdot 62 = 47 \cdot (38 + 62) = 47 \cdot 100$ .

Ответ: $4700$

Группировка

Если общего множителя у всех слагаемых нет, разбейте их на пары. Из каждой пары вынесите её общий множитель так, чтобы в скобках осталось одно и то же выражение. Потом вынесите эту скобку: $ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)$ .

Пример

Разложите на множители $x^3 - 2x^2 + 3x - 6$ .

1.Пары: $(x^3 - 2x^2) + (3x - 6)$ .
2. $x^2(x - 2) + 3(x - 2)$ : в скобках одно и то же выражение.
3. $(x - 2)(x^2 + 3)$ .

Ответ: $(x - 2)(x^2 + 3)$

Разложение по формулам

Формулы сокращённого умножения читают справа налево: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ , $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$ . Разность квадратов узнают по двум квадратам со знаком минус между ними: $x^2 - 49 = (x - 7)(x + 7)$ .

Пример

Найдите значение выражения $67^2 - 33^2$ .

1. $67^2 - 33^2 = (67 - 33)(67 + 33)$ .
2. $34 \cdot 100 = 3400$ .

Ответ: $3400$

Квадратный трёхчлен

Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ , то $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ . Корни находят через дискриминант или по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ , $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ . Не теряйте старший коэффициент $a$ перед скобками. Если корней нет ( $D < 0$ ), трёхчлен на такие множители не раскладывается.

Пример

Разложите на множители $2x^2 - 7x + 3$ .

1. $D = 49 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25$ , $x_{1,2} = \frac{7 \pm 5}{4}$ : $x_1 = 3$ , $x_2 = \frac{1}{2}$ .
2. $2x^2 - 7x + 3 = 2(x - 3)\left(x - \frac{1}{2}\right)$ .
3.Внесите 2 во вторую скобку: $(x - 3)(2x - 1)$ .

Ответ: $(x - 3)(2x - 1)$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать