Задание №9 — Треугольники

Разбор задачи:

Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$, в котором проведена высота $CH = 3$. В правильном треугольнике высота также выполняет роль медианы, а точка $O$ является точкой пересечения медиан (центроидом).
Радиус вписанной окружности $r$ соответствует отрезку $OH$.
Согласно свойствам медиан, точка пересечения делит их в отношении $2:1$, считая от вершины. Следовательно, отрезок $OH$ составляет одну третью часть от всей высоты $CH$:
$$OH = \frac{1}{3} \cdot CH = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1.$$ Таким образом, искомый радиус $r = 1$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ