Решение:

Для решения уравнения $3^{\log _{9} ( 4 x + 1 )} = 9$ воспользуемся свойствами степеней и логарифмов. Сначала приведём основание логарифма к числу $3$, учитывая, что $9 = 3^2$:
$$3^{\frac{1}{2} \log _{3} ( 4 x + 1 )} = 9$$ Используя формулу $\log _{a^{n}} b = \frac{1}{n} \log _{a} b$, мы вынесли степень основания логарифма. Далее применим основное логарифмическое тождество $a^{\log _{a} b} = b$ и свойство возведения степени в степень $(a^n)^m = a^{nm}$. Уравнение примет вид:
$$(4x + 1)^{\frac{1}{2}} = 9$$ Чтобы избавиться от степени $\frac{1}{2}$ (которая равносильна квадратному корню), возведём обе части уравнения в квадрат:
$$4x + 1 = 9^2$$ $$4x + 1 = 81$$ Перенесём единицу в правую часть:
$$4x = 80$$ Разделив обе части на $4$, находим корень уравнения:
$$x = 20$$

Ответ: 20

Источник: ФИПИ