Задание №5 — Анализ простейших алгоритмов
На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.
1) Строится двоичная запись числа N.
2) К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:
а) складываются все цифры двоичной записи числа N, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;
б) над этой записью производятся те же действия — справа дописывается остаток от деления суммы её цифр на 2.
Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R.
Укажите такое наименьшее число N, для которого результат работы данного алгоритма больше числа 77. В ответе это число запишите в десятичной системе счисления.
Правильный ответ
19
Пояснение
Решение:
Пусть в двоичной записи ровно единиц и . На шаге 2а справа приписывается . После этого сумма цифр становится равной — она чётна при любом , поэтому на шаге 2б приписывается 0.
Итак, к записи приписываются два разряда и 0, то есть , где — чётность количества единиц в записи .
Так как , выполнено . Из получаем .
Проверяем : единиц три, , запись , то есть — подходит.
(Для сравнения, даёт и .)
def alg(n):
b = bin(n)[2:]
b += str(sum(map(int, b)) % 2)
b += str(sum(map(int, b)) % 2)
return int(b, 2)
print(min(n for n in range(1, 1000) if alg(n) > 77))
Ответ: 19