Задание №25 — Проверка делимости

Решение:

Ключевое наблюдение: наименьший делитель числа $n$, не равный 1, — это его наименьший простой делитель $p$, а наибольший делитель, не равный $n$, — это $n/p$. Действительно, если $d$ — делитель, то $n/d$ — тоже делитель, и наименьшему делителю соответствует наибольший. Значит $$F=\frac{n}{p}-p,$$ а если $n$ простое, то «средних» делителей нет и $F=0$.

Поэтому искать $p$ достаточно перебором до $\sqrt{n}$: для $n\approx 850\,000$ это менее 1000 шагов, и вся программа отрабатывает мгновенно.

Перебираем числа, большие 850 000, по возрастанию и выводим первые 6 таких, у которых $F\ne 0$ и $F$ делится на 11.

def F(n):
    d = 2
    while d * d <= n:
        if n % d == 0:
            return n // d - d
        d += 1
    return 0

n = 850000
found = 0
while found < 6:
    n += 1
    f = F(n)
    if f != 0 and f % 11 == 0:
        print(n, f)
        found += 1

Проверим пару строк вручную. Для $n=850018$ наименьший простой делитель $p=2$, значит $F=425009-2=425007=11\cdot 38637$. Для $n=850019$ наименьший простой делитель $p=29$, $F=850019/29-29=29311-29=29282=11\cdot 2662$. Обратите внимание, что кратные 11 значения $F$ встречаются заметно реже, поэтому шестое число уже 850084. Программа печатает шесть строк:

Число	$F$
850018	425007
850019	29282
850023	283338
850040	425018
850062	425029
850084	425040

Ответ: 850018 425007 850019 29282 850023 283338 850040 425018 850062 425029 850084 425040