Задание №25 — Проверка делимости

Решение:

Ключевое наблюдение: наименьший делитель числа $n$, не равный 1, — это его наименьший простой делитель $p$, а наибольший делитель, не равный $n$, — это $n/p$. Действительно, если $d$ — делитель, то $n/d$ — тоже делитель, и наименьшему делителю соответствует наибольший. Значит $$F=\frac{n}{p}-p,$$ а если $n$ простое, то «средних» делителей нет и $F=0$.

Поэтому искать $p$ достаточно перебором до $\sqrt{n}$: для $n\approx 850\,000$ это менее 1000 шагов, и вся программа отрабатывает мгновенно.

Перебираем числа, большие 850 000, по возрастанию и выводим первые 6 таких, у которых $F\ne 0$ и $F$ делится на 3.

def F(n):
    d = 2
    while d * d <= n:
        if n % d == 0:
            return n // d - d
        d += 1
    return 0

n = 850000
found = 0
while found < 6:
    n += 1
    f = F(n)
    if f != 0 and f % 3 == 0:
        print(n, f)
        found += 1

Проверим пару строк вручную. Для $n=850003$ наименьший простой делитель $p=7$, значит $F=850003/7-7=121429-7=121422$, и $121422=3\cdot 40474$ — делится на 3. Для $n=850015$ имеем $p=5$, $F=170003-5=169998$ — тоже кратно 3. Программа печатает шесть строк:

Число	$F$
850003	121422
850005	283332
850006	425001
850012	425004
850015	169998
850018	425007

Ответ: 850003 121422 850005 283332 850006 425001 850012 425004 850015 169998 850018 425007