Задание №17 — Логарифмические уравнения

Ход решения:
Для начала приведём логарифмы к единому основанию. Заметим, что $0{,}125 = \frac{1}{8} = 8^{-1}$. Используя свойства логарифма, преобразуем исходное уравнение:
$$\log_{8^{-1}} (-2 + 4x) = \log_8 25 \Rightarrow -\log_8 (-2 + 4x) = \log_8 25$$
Перенесём минус в показатель подлогарифмического выражения:
$$\log_8 (-2 + 4x)^{-1} = \log_8 25$$
Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять аргументы:
$$(-2 + 4x)^{-1} = 25$$
Представим левую часть в виде дроби и решим полученное уравнение:
$$\frac{1}{-2 + 4x} = 25$$
Воспользуемся основным свойством пропорции:
$$25 \cdot (-2 + 4x) = 1 \Rightarrow -50 + 100x = 1$$
Перенесём свободное число в правую часть:
$$100x = 51$$
Отсюда находим значение переменной:
$$x = \frac{51}{100} = 0{,}51$$

Ответ: 0,51

Источник: ФИПИ