Задание №6 — Анализ алгоритмов для исполнителя

#69355Задание №6ФИПИ

Анализ алгоритмов и исполнители

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существует две команды: Вперёд n (где n – целое число), вызывающая передвижение Черепахи на n единиц в том направлении, куда указывает её голова, и Направо m (где m – целое число), вызывающая изменение направления движения на m градусов по часовой стрелке.
Запись Повтори k [Команда1 Команда2 … КомандаS] означает, что последовательность из S команд повторится k раз (k – целое число).

Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Направо 45 Повтори 7 [Вперёд 7 Направо 45 Вперёд 20 Направо 135].
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.

Правильный ответ

Пояснение

Решение:

За один проход тела цикла Черепаха поворачивает на $45^\circ + 135^\circ = 180^\circ$ , поэтому замкнутая фигура получается за два прохода: у неё четыре стороны — 7, 20, 7, 20 — и углы $45^\circ$ и $135^\circ$ . Это параллелограмм, а семь повторений просто обводят его несколько раз, ничего нового не рисуя.

Найдём вершины. Начальная команда «Направо 45» направляет голову под $45^\circ$ к оси ординат, поэтому первый отрезок ведёт из $(0;0)$ в точку $\left(\frac{7}{\sqrt2};\ \frac{7}{\sqrt2}\right) \approx (4{,}95;\ 4{,}95)$ . Затем голова смотрит вправо, отрезок длины 20 даёт вершину $\left(20 + \frac{7}{\sqrt2};\ \frac{7}{\sqrt2}\right)$ , после чего Черепаха спускается в $(20;0)$ и возвращается в начало координат.

Итак, нижняя сторона лежит на оси абсцисс от $(0;0)$ до $(20;0)$ , верхняя — на горизонтали $y = \frac{7}{\sqrt2} \approx 4{,}95$ , а боковые стороны идут под $45^\circ$ : левая по прямой $y = x$ , правая по прямой $y = x - 20$ .

Точки на линиях не считаем, поэтому $y$ может принимать только значения 1, 2, 3, 4. При фиксированном целом $y$ координата $x$ должна лежать строго между $y$ и $y + 20$ , то есть принимать значения от $y + 1$ до $y + 19$ — ровно 19 вариантов. Всего $4 \cdot 19 = 76$ точек. Контроль: площадь параллелограмма равна $7 \cdot 20 \cdot \sin 45^\circ \approx 99$ , что согласуется с ответом.

from math import sqrt

h = 7 / sqrt(2)          # высота параллелограмма ≈ 4.95
total = 0
for y in range(1, int(h) + 1):
    total += len([x for x in range(-30, 60) if y < x < y + 20])
print(total)             # 76

Ответ: 76