Задание №6 — Анализ алгоритмов для исполнителя

#69567Задание №6ФИПИ

Анализ алгоритмов и исполнители

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существует две команды: Вперёд n (где n — целое число), вызывающая передвижение Черепахи на n единиц в том направлении, куда указывает её голова; Направо m (где m — целое число), вызывающая изменение направления движения на m градусов по часовой стрелке.
Запись Повтори k [Команда1 Команда2 ... КомандаS] означает, что последовательность из S команд повторится k раз.

Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 11 [Вперёд 111 Направо 120].
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.

Правильный ответ

5280

Пояснение

Решение:

Внешний угол поворота $120^{\circ}$ , значит контур — равносторонний треугольник со стороной 111; он замыкается за 3 команды, а 11 повторов лишь обводят его несколько раз.

Вершины: $(0;0)$ , $(0;111)$ и $\left(\tfrac{111\sqrt{3}}{2};\,55{,}5\right)\approx(96{,}13;\,55{,}5)$ .

Левая сторона лежит на оси $Oy$ , поэтому у внутренних точек $x\ge 1$ и $y=1,2,\dots,110$ . Правые стороны лежат на прямых $x=y\sqrt{3}$ (нижняя, при $y\le 55{,}5$ ) и $x=(111-y)\sqrt{3}$ (верхняя).

Число $y\sqrt{3}$ при целом $y\ge 1$ иррационально, поэтому в строке $y$ ровно $\lfloor y\sqrt{3}\rfloor$ внутренних точек при $y\le 55$ и $\lfloor (111-y)\sqrt{3}\rfloor$ при $y\ge 56$ . По симметрии обе суммы равны:

$N=2\sum\limits_{y=1}^{55}\left\lfloor y\sqrt{3}\right\rfloor=2\cdot 2640=5280.$

Проверим программой:

from math import sin, cos, radians

P = [(0.0, 0.0)]
x = y = 0.0
a = 90.0                      # голова смотрит вдоль оси Oy

def F(n):                     # Вперёд n
    global x, y
    x = round(x + n * cos(radians(a)), 9)   # round убирает шум float
    y = round(y + n * sin(radians(a)), 9)
    P.append((x, y))

def R(m):                     # Направо m
    global a
    a -= m

for i in range(3):            # треугольник замыкается за 3 команды
    F(111); R(120)

def inside(px, py):           # фигура выпуклая, обход по часовой стрелке
    for i in range(len(P) - 1):
        x1, y1 = P[i]; x2, y2 = P[i + 1]
        if (x2 - x1) * (py - y1) - (y2 - y1) * (px - x1) >= -1e-9:
            return False      # точка на линии или снаружи
    return True

xs = [p[0] for p in P]; ys = [p[1] for p in P]
print(sum(inside(px, py)
          for px in range(int(min(xs)) - 1, int(max(xs)) + 2)
          for py in range(int(min(ys)) - 1, int(max(ys)) + 2)))

Ответ: 5280