Задание №6 — Анализ алгоритмов для исполнителя

#69603Задание №6ФИПИ

Анализ алгоритмов и исполнители

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост поднят. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существует три команды: Вперёд n (где n - целое число), вызывающая передвижение Черепахи на n единиц в том направлении, куда указывает её голова; Направо m (где m - целое число), вызывающая изменение направления движения на m градусов по часовой стрелке; Опустить хвост, означающая переход в режим рисования.
Запись Повтори k [Команда1 Команда2 ... КомандаS] означает, что последовательность из S команд повторится k раз.

Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Вперёд 100 Направо 90 Вперёд 100 Направо 45 Опустить хвост Повтори 15 [Вперёд 20 Направо 90 Вперёд 30 Направо 90].
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.

Правильный ответ

588

Пояснение

Решение:

Хвост поднят, поэтому Вперёд 100 Направо 90 Вперёд 100 только переводит Черепаху в точку $(100;100)$ . После Направо 45 голова смотрит под углом $-45^{\circ}$ к оси $Ox$ , и хвост опускается.

Цикл замыкается за два повтора: рисуется прямоугольник $20\times 30$ , повёрнутый на $45^{\circ}$ , с вершинами $(100;100)$ , $(100+10\sqrt{2};\,100-10\sqrt{2})$ , $(100-5\sqrt{2};\,100-25\sqrt{2})$ , $(100-15\sqrt{2};\,100-15\sqrt{2})$ .

Все стороны имеют угловые коэффициенты $\pm 1$ , поэтому в переменных $s=x+y$ и $d=x-y$ условие «строго внутри» становится совсем простым:

$200-30\sqrt{2}\lt s\lt 200,\qquad 0\lt d\lt 20\sqrt{2}.$

Так как $30\sqrt{2}\approx 42{,}43$ и $20\sqrt{2}\approx 28{,}28$ , подходят целые $s=158,159,\dots,199$ (42 значения) и $d=1,2,\dots,28$ (28 значений).

Пара $(s;d)$ отвечает целой точке $x=\dfrac{s+d}{2}$ , $y=\dfrac{s-d}{2}$ тогда и только тогда, когда $s$ и $d$ одной чётности. Среди значений $s$ — 21 чётное и 21 нечётное, среди значений $d$ — 14 чётных и 14 нечётных.

Итого $21\cdot 14+21\cdot 14=588$ . Проверим программой:

from math import sin, cos, radians

P = [(0.0, 0.0)]
x = y = 0.0
a = 90.0                      # голова смотрит вдоль оси Oy

def F(n):                     # Вперёд n
    global x, y
    x = round(x + n * cos(radians(a)), 9)   # round убирает шум float
    y = round(y + n * sin(radians(a)), 9)
    P.append((x, y))

def R(m):                     # Направо m
    global a
    a -= m

F(100); R(90); F(100); R(45)  # хвост поднят - это не рисуется
P = [(x, y)]                  # опустили хвост
for i in range(2):            # прямоугольник замыкается за 2 повторения
    F(20); R(90); F(30); R(90)

def inside(px, py):           # фигура выпуклая, обход по часовой стрелке
    for i in range(len(P) - 1):
        x1, y1 = P[i]; x2, y2 = P[i + 1]
        if (x2 - x1) * (py - y1) - (y2 - y1) * (px - x1) >= -1e-9:
            return False      # точка на линии или снаружи
    return True

xs = [p[0] for p in P]; ys = [p[1] for p in P]
print(sum(inside(px, py)
          for px in range(int(min(xs)) - 1, int(max(xs)) + 2)
          for py in range(int(min(ys)) - 1, int(max(ys)) + 2)))

Ответ: 588