Задание №6 — Анализ алгоритмов для исполнителя

#69751Задание №6ФИПИ

Анализ алгоритмов и исполнители

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существует две команды: Вперед n (где n — целое число), вызывающая передвижение Черепахи на n единиц в том направлении, куда указывает её голова, и Налево m (где m — целое число), вызывающая изменение направления движения на m градусов против часовой стрелки.
Запись Повтори k [Команда1 Команда2 ... КомандаS] означает, что последовательность из S команд повторится k раз.

Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Направо 90 Вперёд 4 Направо 90 Вперёд 48 Направо 90 Вперёд 4 Направо 30 Повтори 8 [Вперёд 6 Направо 120 Вперёд 6 Направо 240].
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.

Правильный ответ

285

Пояснение

Решение:

Команды Направо 90 Вперёд 4 Направо 90 Вперёд 48 Направо 90 Вперёд 4 дают три стороны прямоугольника: $(0;0)\to(4;0)\to(4;-48)\to(0;-48)$ . Это прямоугольник $4\times 48$ , четвёртая сторона которого — отрезок оси $Oy$ .

Дальше Направо 30, и цикл Вперёд 6 Направо 120 Вперёд 6 Направо 240 восемь раз рисует «зубцы» — равносторонние треугольники со стороной 6, направленные влево от оси $Oy$ ; их вершины удалены от оси на $3\sqrt{3}\approx 5{,}20$ . Восемь зубцов покрывают отрезок от $y=-48$ до $y=0$ , линия замыкается.

Считаем по вертикальным столбцам:

$x=1,2,3$ — внутренность прямоугольника, по 47 точек ( $y=-47,\dots,-1$ ): $3\cdot 47=141$ ;
$x=0$ — отрезок оси проходит внутри фигуры, но «впадины» $y=-42,-36,-30,-24,-18,-12,-6$ лежат на линии: $47-7=40$ ;
внутри одного зубца: при $x=-1$ — 5 точек, при $x=-2$ — 3, при $x=-3$ — 3, при $x=-4$ — 1, при $x=-5$ — 1; итого 13, а на восемь зубцов — 104.

$141+40+104=285$ . Проверим программой (фигура невыпуклая — считаем методом луча и отбрасываем точки на ломаной):

from math import sin, cos, radians, hypot

P = [(0.0, 0.0)]
x = y = 0.0
a = 90.0

def F(n):
    global x, y
    x = round(x + n * cos(radians(a)), 9)   # round убирает шум float
    y = round(y + n * sin(radians(a)), 9)
    P.append((x, y))

def R(m):
    global a
    a -= m

R(90); F(4); R(90); F(48); R(90); F(4); R(30)
for i in range(8):
    F(6); R(120); F(6); R(240)

def on_line(px, py):          # точка лежит на самой ломаной?
    for i in range(len(P) - 1):
        x1, y1 = P[i]; x2, y2 = P[i + 1]
        L = hypot(x2 - x1, y2 - y1)
        d = ((x2 - x1) * (py - y1) - (y2 - y1) * (px - x1)) / L
        if abs(d) < 1e-6 and min(x1, x2) - 1e-6 <= px <= max(x1, x2) + 1e-6 \
                         and min(y1, y2) - 1e-6 <= py <= max(y1, y2) + 1e-6:
            return True
    return False

def inside(px, py):           # луч вправо: чётность числа пересечений
    c = False
    for i in range(len(P) - 1):
        x1, y1 = P[i]; x2, y2 = P[i + 1]
        if (y1 > py) != (y2 > py):
            if x1 + (py - y1) * (x2 - x1) / (y2 - y1) > px:
                c = not c
    return c

xs = [p[0] for p in P]; ys = [p[1] for p in P]
print(sum(inside(px, py) and not on_line(px, py)
          for px in range(int(min(xs)) - 1, int(max(xs)) + 2)
          for py in range(int(min(ys)) - 1, int(max(ys)) + 2)))

Ответ: 285