Задание №6 — Анализ алгоритмов для исполнителя

#69753Задание №6ФИПИ

Анализ алгоритмов и исполнители

Исполнитель Черепаха действует на плоскости с декартовой системой координат. В начальный момент Черепаха находится в начале координат, её голова направлена вдоль положительного направления оси ординат, хвост опущен. При опущенном хвосте Черепаха оставляет на поле след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существует две команды: Вперед n (где n — целое число), вызывающая передвижение Черепахи на n единиц в том направлении, куда указывает её голова, и Налево m (где m — целое число), вызывающая изменение направления движения на m градусов против часовой стрелки.
Запись Повтори k [Команда1 Команда2 ... КомандаS] означает, что последовательность из S команд повторится k раз.

Черепахе был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 10 [Направо 120 Вперёд 12 Направо 60 Вперёд 12].
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом. Точки на линии учитывать не следует.

Правильный ответ

120

Пояснение

Решение:

За один повтор суммарный поворот равен $120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}$ , поэтому контур замыкается уже после двух повторов, а остальные восемь его лишь обводят.

Вершины ломаной: $(0;0)$ , $(6\sqrt{3};\,-6)$ , $(6\sqrt{3};\,-18)$ , $(0;-12)$ . Это ромб со стороной 12 с углами $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$ ; его ширина равна $6\sqrt{3}\approx 10{,}39$ .

Считаем по вертикальным столбцам. Левая сторона ромба — отрезок прямой $x=0$ , правая — отрезок прямой $x=6\sqrt{3}$ , поэтому у внутренних точек $x=1,2,\dots,10$ — 10 столбцов.

Верхняя и нижняя стороны лежат на прямых $y=-\dfrac{x}{\sqrt{3}}$ и $y=-\dfrac{x}{\sqrt{3}}-12$ ; по вертикали они отстоят ровно на 12, а $\dfrac{x}{\sqrt{3}}$ при целом $x\ge 1$ иррационально, поэтому в каждом столбце ровно 12 целых точек.

Итого $10\cdot 12=120$ . Проверим программой:

from math import sin, cos, radians

P = [(0.0, 0.0)]
x = y = 0.0
a = 90.0                      # голова смотрит вдоль оси Oy

def F(n):                     # Вперёд n
    global x, y
    x = round(x + n * cos(radians(a)), 9)   # round убирает шум float
    y = round(y + n * sin(radians(a)), 9)
    P.append((x, y))

def R(m):                     # Направо m
    global a
    a -= m

for i in range(2):            # контур замыкается за 2 повторения
    R(120); F(12); R(60); F(12)

def inside(px, py):           # фигура выпуклая, обход по часовой стрелке
    for i in range(len(P) - 1):
        x1, y1 = P[i]; x2, y2 = P[i + 1]
        if (x2 - x1) * (py - y1) - (y2 - y1) * (px - x1) >= -1e-9:
            return False      # точка на линии или снаружи
    return True

xs = [p[0] for p in P]; ys = [p[1] for p in P]
print(sum(inside(px, py)
          for px in range(int(min(xs)) - 1, int(max(xs)) + 2)
          for py in range(int(min(ys)) - 1, int(max(ys)) + 2)))

Ответ: 120