тема 10 из 12

Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь — дробь, в числителе и знаменателе которой стоят многочлены. С ней действуют как с обыкновенной дробью: сокращают на общий множитель, складывают через общий знаменатель, умножают числитель на числитель. Сократить можно только множитель, поэтому числитель и знаменатель сначала раскладывают на множители.

Реже в заданиях8 20На карте навыков

Действия с алгебраическими дробями

Знаменатель дроби не равен нулю.

Сокращение: $\frac{ac}{bc} = \frac{a}{b}$ . Разложите числитель и знаменатель на множители и сократите общий множитель.
Сложение и вычитание: $\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$ . Разные знаменатели сначала приводят к общему.
Умножение: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ . Деление: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ .
Если даны значения букв, сначала упростите дробь, потом подставьте числа.

Сокращение дроби

Правила те же, что у обыкновенных дробей. Сокращают общий множитель числителя и знаменателя, а не слагаемое. Поэтому сначала разложите числитель и знаменатель на множители: $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = x - 3$ . У одночленов сокращают степени по свойствам степени: $\frac{12a^5b}{4a^2b^3} = \frac{3a^3}{b^2}$ .

Пример

Найдите значение выражения $\frac{a^2 - 16}{a - 4}$ при $a = 96$ .

1. $a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4)$ по разности квадратов.
2. $\frac{(a - 4)(a + 4)}{a - 4} = a + 4$ .
3.При $a = 96$ : $96 + 4 = 100$ .

Ответ: $100$

Сложение и вычитание дробей

Дроби с одинаковым знаменателем складывают по числителям. Дроби с разными знаменателями приводят к общему знаменателю: если у знаменателей нет общих множителей, общий знаменатель — их произведение. Каждый числитель домножают на недостающий множитель. Если знаменатели $a - b$ и $b - a$ , вынесите минус: $\frac{c}{b - a} = -\frac{c}{a - b}$ .

Пример

Найдите значение выражения $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ .

1.Общий знаменатель: $(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$ по разности квадратов.
2.Домножьте каждый числитель на другой знаменатель: $1 \cdot (2 - \sqrt{3}) + 1 \cdot (2 + \sqrt{3}) = 4$ .
3. $\frac{4}{1} = 4$ .

Ответ: $4$

Умножение и деление дробей

Как у обыкновенных дробей, числитель умножают на числитель, а деление заменяют умножением на перевёрнутую дробь. До умножения разложите всё на множители и сократите крест-накрест: так числа не растут.

Пример

Найдите значение выражения $\frac{a^2 - 4}{3a} \cdot \frac{6a}{a + 2}$ при $a = 7{,}5$ .

1. $\frac{(a - 2)(a + 2)}{3a} \cdot \frac{6a}{a + 2}$ .
2.Сократите $a + 2$ , а $6a$ и $3a$ — на $3a$ : остаётся $2(a - 2)$ .
3.При $a = 7{,}5$ : $2 \cdot 5{,}5 = 11$ .

Ответ: $11$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать