Задание №18 — Неравенства

Разбор задания:
Для нахождения соответствия между неравенствами и их решениями воспользуемся методом интервалов для каждого случая.

А) Рассмотрим неравенство $x^{2} + 7x - 30 \leq 0$.
Сначала найдём корни квадратного трёхчлена $x^{2} + 7x - 30 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$.
Корни уравнения: $x_{1} = \frac{-7 + 13}{2} = 3$ и $x_{2} = \frac{-7 - 13}{2} = -10$.
На числовой прямой это соответствует промежутку $[-10; 3]$.

Б) Проанализируем неравенство $x^{2} - 11x + 30 \geq 0$.
Приравняем выражение к нулю: $x^{2} - 11x + 30 = 0$.
Дискриминант равен: $D = (-11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$.
Находим корни: $x_{1} = \frac{11 + 1}{2} = 6$ и $x_{2} = \frac{11 - 1}{2} = 5$.
Решением являются объединение лучей $(-\infty; 5] \cup [6; +\infty)$.

В) Решим неравенство $x^{2} + 11x + 30 \leq 0$.
Найдём точки пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $x^{2} + 11x + 30 = 0$.
$D = 11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 121 - 120 = 1$.
Получаем значения: $x_{1} = \frac{-11 + 1}{2} = -5$ и $x_{2} = \frac{-11 - 1}{2} = -6$.
Неравенству удовлетворяет отрезок $[-6; -5]$.

Г) Разберём неравенство $x^{2} - 7x - 30 \leq 0$.
Найдём нули функции $x^{2} - 7x - 30 = 0$.
Дискриминант: $D = (-7)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$.
Корни: $x_{1} = \frac{7 + 13}{2} = 10$ и $x_{2} = \frac{7 - 13}{2} = -3$.
Решением будет интервал $[-3; 10]$.

Сопоставив полученные результаты с предложенными вариантами, получаем искомую последовательность цифр.

Ответ: 4123

Источник: ФИПИ