Задание №18 — Неравенства

Разбор задания:
Для нахождения соответствия последовательно проанализируем каждое неравенство:

А) $(x - 6)(x - 3) < 0$.
Данное произведение отрицательно, когда множители имеют разные знаки. Рассмотрим два случая:
1) $\begin{cases} x - 3 < 0 \\ x - 6 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 3 \\ x > 6 \end{cases}$ — решений нет.
2) $\begin{cases} x - 3 > 0 \\ x - 6 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x < 6 \end{cases} \Rightarrow x \in (3; 6)$.
Итоговое решение — интервал $(3; 6)$. Это изображено на чертеже под номером 1. Таким образом, А — 1.

Б) $(x - 6)(x - 3)^2 < 0$.
Заметим, что квадрат $(x - 3)^2$ всегда неотрицателен и равен нулю при $x = 3$. Чтобы произведение было строго меньше нуля, необходимо выполнение условий:
$\begin{cases} (x - 3)^2 \neq 0 \\ x - 6 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \neq 3 \\ x < 6 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 3) \cup (3; 6)$.
Данному множеству точек соответствует рисунок номер 3. Значит, Б — 3.

В) $\frac{(x - 6)^2}{x - 3} > 0$.
Дробь положительна, если числитель и знаменатель одного знака. Поскольку $(x - 6)^2 \geq 0$, для строгого неравенства требуется:
$\begin{cases} (x - 6)^2 \neq 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \neq 6 \\ x > 3 \end{cases} \Rightarrow x \in (3; 6) \cup (6; +\infty)$.
Этот результат совпадает с графическим представлением под номером 2. Получаем В — 2.

Г) $\frac{x - 3}{x - 6} > 0$.
Частное положительно, если делимое и делитель имеют одинаковые знаки:
1) Оба положительны: $\begin{cases} x - 3 > 0 \\ x - 6 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x > 6 \end{cases} \Rightarrow x \in (6; +\infty)$.
2) Оба отрицательны: $\begin{cases} x - 3 < 0 \\ x - 6 < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 3 \\ x < 6 \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 3)$.
Объединяя эти промежутки, имеем $x \in (-\infty; 3) \cup (6; +\infty)$, что соответствует рисунку 4. Следовательно, Г — 4.

Ответ: 1324

Источник: ФИПИ