Задание №10 — Прикладная планиметрия

Решение:

На представленной схеме отрезок $AC$ изображает положение «журавля» в исходном состоянии, а $BD$ — после того, как его наклонили. Отрезок $AH$ соответствует высоте подъёма короткого плеча, в то время как $CK$ — это глубина, на которую опустилось длинное плечо.

Проанализируем треугольники $AOB$ и $COD$. Поскольку $AO = BO$ и $OC = OD$ (радиусы вращения плеч), данные треугольники являются равнобедренными. Углы при их вершинах $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны как вертикальные. Следовательно, углы при основаниях этих треугольников также равны между собой: $\angle OAB = \angle OBA = \angle OCD = \angle ODC$. Из этого следует подобие треугольников $AOB$ и $COD$ по двум углам. Коэффициент подобия определяется отношением длин плеч: $$\frac{CD}{AB} = \frac{OC}{OA} = \frac{6}{1} = 6.$$

Так как накрест лежащие углы при прямых $AB$, $CD$ и секущей $BD$ равны, мы можем сделать вывод о параллельности отрезков $AB$ и $CD$. Учитывая это, углы в прямоугольных треугольниках $AHB$ и $CKD$ также будут равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $AHB$ и $CKD$. Они подобны, так как имеют равные острые углы. Из подобия вытекает пропорциональность соответствующих сторон: $$\frac{CK}{AH} = \frac{CD}{AB}.$$ Подставим известные значения, чтобы найти искомую высоту $CK$: $$CK = AH \cdot \frac{CD}{AB} = 0{,}5 \cdot 6 = 3.$$

Ответ: 3

Источник: ФИПИ