Задание №18 — Неравенства

Разбор задания:
Для каждого неравенства найдём соответствующее ему множество решений, предварительно вычислив корни соответствующих квадратных уравнений.

А) Рассмотрим неравенство $x^{2} - 5x - 14 \geq 0$.
Сначала приравняем выражение к нулю: $x^{2} - 5x - 14 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = (-5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2}$;
$x_{1} = \frac{5 + 9}{2} = 7$;
$x_{2} = \frac{5 - 9}{2} = -2$.
Так как знак неравенства $\geq$, выбираем внешние промежутки: $(-\infty; -2] \cup [7; +\infty)$. Это соответствует варианту 1.

Б) Для неравенства $x^{2} + 5x - 14 \geq 0$ составим уравнение $x^{2} + 5x - 14 = 0$.
Дискриминант здесь такой же: $D = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.
Находим значения $x$:
$x_{1} = \frac{-5 + 9}{2} = 2$;
$x_{2} = \frac{-5 - 9}{2} = -7$.
Решением неравенства со знаком "больше или равно" будет объединение лучей $(-\infty; -7] \cup [2; +\infty)$. Это вариант 4.

В) Неравенство $x^{2} - 5x - 14 \leq 0$ имеет те же корни, что и в пункте А: $x_1 = 7$ и $x_2 = -2$.
Поскольку требуется найти значения меньше или равные нулю, решением будет отрезок между корнями: $[-2; 7]$. Это соответствует варианту 2.

Г) Для неравенства $x^{2} + 5x - 14 \leq 0$ используем корни из пункта Б: $x_1 = 2$ и $x_2 = -7$.
Условию "меньше или равно" удовлетворяет промежуток $[-7; 2]$. Это вариант 3.

Сопоставив все результаты, получаем искомую последовательность цифр.

Ответ: 1423

Источник: ФИПИ