Задание №6 — Спутники

Решение:

На круговой орбите радиусом $r$ единственная сила, действующая на зонд, — сила тяготения Марса. По второму закону Ньютона она сообщает зонду центростремительное ускорение:

$$\frac{GMm}{r^2} = ma \quad \Rightarrow \quad a = \frac{GM}{r^2}.$$

Центростремительное ускорение увеличилось, а $a$ обратно пропорционально $r^2$, значит радиус новой орбиты меньше: $r$ уменьшился.

Скорость. Так как $a = \dfrac{\upsilon^2}{r} = \dfrac{GM}{r^2}$, то

$$\upsilon = \sqrt{\frac{GM}{r}}.$$

При уменьшении $r$ скорость увеличивается — ответ 1.

Период обращения.

$$T = \frac{2\pi r}{\upsilon} = 2\pi r \sqrt{\frac{r}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}.$$

При уменьшении $r$ период уменьшается — ответ 2. (Тот же вывод даёт третий закон Кеплера $T^2 \propto r^3$.)

Ответ: 12

Источник: ФИПИ