Задание №5 — Алгоритмы и программирование

Решение.

Нам необходимо составить алгоритм для исполнителя «Удвоитель», который превращает число $1$ в число $38$ ровно за $5$ шагов (или меньше). У нас есть две команды: 1 (умножить на $2$) и 2 (прибавить $3$).

Для решения таких задач удобнее всего двигаться «с конца» — от итогового числа $38$ к исходному числу $1$. При этом действия заменяются на обратные: вместо умножения на $2$ мы будем делить на $2$ (если число чётное), а вместо прибавления $3$ будем вычитать $3$.

Шаг 1. Начнём с числа $38$. Оно чётное, поэтому его можно разделить на $2$.
$38 : 2 = 19$. (Это обратная команда 1).
Если бы мы вычли $3$, получили бы $35$, что не делится на $2$, и путь к единице стал бы длиннее.

Шаг 2. Теперь у нас число $19$. Оно нечётное, на $2$ не делится. Значит, единственный вариант — вычесть $3$.
$19 - 3 = 16$. (Это обратная команда 2).

Шаг 3. Число $16$ чётное. Попробуем разделить на $2$.
$16 : 2 = 8$. (Это обратная команда 1).

Шаг 4. Число $8$ чётное. Снова разделим на $2$.
$8 : 2 = 4$. (Это обратная команда 1).
Заметим: если бы мы на этом шаге вычли $3$, получили бы $5$, из которого за один шаг до $1$ не добраться.

Шаг 5. Из числа $4$ нам нужно получить $1$. Вычтем $3$.
$4 - 3 = 1$. (Это обратная команда 2).

Мы пришли к числу $1$ за $5$ шагов. Теперь запишем команды в прямом порядке (от $1$ к $38$), заменяя обратные действия на исходные:
1. (Шаг 5 наоборот): $1 + 3 = 4$ (команда 2)
2. (Шаг 4 наоборот): $4 \cdot 2 = 8$ (команда 1)
3. (Шаг 3 наоборот): $8 \cdot 2 = 16$ (команда 1)
4. (Шаг 2 наоборот): $16 + 3 = 19$ (команда 2)
5. (Шаг 1 наоборот): $19 \cdot 2 = 38$ (команда 1)

Последовательность номеров команд: $21121$.

Проверка:
$1 \xrightarrow{+3} 4 \xrightarrow{\cdot 2} 8 \xrightarrow{\cdot 2} 16 \xrightarrow{+3} 19 \xrightarrow{\cdot 2} 38$.
Алгоритм верный и содержит ровно $5$ команд.

Ответ: 21121

Источник: ФИПИ