Задание №7 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся условием плавания тел. Когда тело плавает на поверхности жидкости, сила тяжести, действующая на него, уравновешивается выталкивающей силой (силой Архимеда).

Дано:
$h = 12 \text{ см}$ — полная высота бруска;
$h_{1} = 6 \text{ см}$ — глубина погружения первого бруска (согласно рисунку, брусок погружен ровно на половину своей высоты, так как уровень жидкости делит высоту $h$ пополам);
$\rho_{2} = \frac{1}{2} \rho_{1}$ — плотность второго бруска вдвое меньше плотности первого;
$V_{1} = V_{2} = V$ — размеры (объемы) брусков одинаковы;
$\rho_{\text{ж}}$ — плотность жидкости одинакова в обоих случаях.
Найти: $h_{2}$ — ?

Математическое описание:
1. Условие равновесия для первого бруска:
$F_{\text{тяж}1} = F_{\text{А}1}$
$m_{1}g = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}1}$
Так как масса $m = \rho V$, а объем погруженной части бруска прямоугольной формы $V_{\text{погр}} = S \cdot h_{\text{погр}}$ (где $S$ — площадь основания), запишем:
$\rho_{1} \cdot S \cdot h \cdot g = \rho_{\text{ж}} \cdot S \cdot h_{1} \cdot g$
Сократив на $S$ и $g$, получим связь плотностей и высот:
$\rho_{1} \cdot h = \rho_{\text{ж}} \cdot h_{1}$ (1)

2. Условие равновесия для второго бруска:
Аналогично первому случаю:
$\rho_{2} \cdot h = \rho_{\text{ж}} \cdot h_{2}$ (2)

3. Вывод рабочей формулы:
Разделим уравнение (2) на уравнение (1):
$\frac{\rho_{2} \cdot h}{\rho_{1} \cdot h} = \frac{\rho_{\text{ж}} \cdot h_{2}}{\rho_{\text{ж}} \cdot h_{1}}$
$\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} = \frac{h_{2}}{h_{1}}$
Отсюда выразим искомую глубину погружения:
$h_{2} = h_{1} \cdot \frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}$

Вычисления:
По условию $\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}} = \frac{1}{2}$.
Из рисунка видно, что первый брусок погружен на половину высоты: $h_{1} = \frac{12 \text{ см}}{2} = 6 \text{ см}$.
Подставим значения:
$h_{2} = 6 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см}$.

Ответ: 3 см

Источник: ФИПИ