Задание №14 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения данной задачи проанализируем представленный график траекторий движения снаряда при различных углах выстрела ($15^{\circ}$, $30^{\circ}$, $45^{\circ}$, $60^{\circ}$, $75^{\circ}$) и применим знания кинематики движения тела, брошенного под углом к горизонту.

1. Анализ утверждения № 1: "Длительность полёта снаряда не зависит от угла выстрела".
Время полёта тела определяется вертикальной составляющей начальной скорости: $t = \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin\alpha}{g}$. Чем больше угол $\alpha$ (в диапазоне от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$), тем больше значение $\sin\alpha$, а значит, и время полёта. На графике видно, что при увеличении угла снаряд поднимается выше, что требует большего времени на подъем и спуск. Утверждение неверно.

2. Анализ утверждения № 2: "Максимальная высота, на которую поднимается снаряд, увеличивается при увеличении угла выстрела".
Максимальная высота подъёма $H$ соответствует самой высокой точке траектории (координата $Y$). По рисунку чётко прослеживается закономерность: вершина параболы для угла $75^{\circ}$ выше, чем для $60^{\circ}$, для $60^{\circ}$ выше, чем для $45^{\circ}$ и так далее. Формула высоты: $H = \frac{v_0^2 \cdot \sin^2\alpha}{2g}$. С ростом угла $\alpha$ растёт $\sin\alpha$, следовательно, растёт и $H$. Утверждение верно.

3. Анализ утверждения № 3: "Дальность полёта увеличивается с увеличением угла выстрела".
Дальность полёта — это расстояние по оси $X$ от точки старта до точки падения. Из рисунка видно, что при увеличении угла от $15^{\circ}$ до $45^{\circ}$ дальность растёт, но при дальнейшем увеличении угла (от $45^{\circ}$ до $75^{\circ}$) дальность начинает уменьшаться. Максимальная дальность достигается при угле $45^{\circ}$. Утверждение неверно.

4. Анализ утверждения № 4: "Время полёта снаряда, выпущенного под углом $30^{\circ}$ к горизонту, равно времени полёта снаряда, выпущенного под углом $60^{\circ}$ к горизонту".
Как было сказано в пункте 1, время полёта зависит от $\sin\alpha$. Так как $\sin 60^{\circ} > \sin 30^{\circ}$, время полёта под углом $60^{\circ}$ будет больше. На графике траектория для $60^{\circ}$ значительно выше, что подтверждает большую длительность полёта. Утверждение неверно.

5. Анализ утверждения № 5: "Дальности полёта при углах выстрела $15^{\circ}$ и $75^{\circ}$ к горизонту совпадают".
Дальность полёта определяется формулой $L = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\alpha)}{g}$. Дальности совпадают для углов, сумма которых равна $90^{\circ}$ (так называемые дополнительные углы), так как $\sin(2\alpha) = \sin(2 \cdot (90^{\circ} - \alpha))$. Для углов $15^{\circ}$ и $75^{\circ}$: $15^{\circ} + 75^{\circ} = 90^{\circ}$. Если внимательно посмотреть на рисунок, точки пересечения траекторий для $15^{\circ}$ и $75^{\circ}$ с осью $X$ совпадают. Утверждение верно.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ