Задание №2 — Построение таблицы истинности

#69465Задание №2ФИПИ

Алгебра логики

Миша заполнял таблицу истинности функции F
$\neg \left(\left(x \equiv y\right) \lor \left(x \equiv z\right)\right) \lor w \lor \neg \left(y \rightarrow z\right) ,$
но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z:

			F
0	0	0	0
1		1	0
0			0
1	1	1	0

Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, x, y, z. В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Функция F задана выражением $- x \lor y ,$ зависящим от двух переменных, а фрагмент таблицы имеет следующий вид.

		F
0	1	0

В этом случае первому столбцу соответствует переменная y,а второму столбцу — переменная x. В ответе следует написать yx.

Правильный ответ

xwyz

Пояснение

Решение:

Функция $F = \neg \left(\left(x \equiv y\right) \lor \left(x \equiv z\right)\right) \lor w \lor \neg \left(y \rightarrow z\right)$ зависит от четырёх переменных, поэтому её полная таблица истинности содержит $2^4 = 16$ строк, а расставить переменные w, x, y, z по четырём столбцам можно $4! = 24$ способами.

Найдём все наборы, на которых $F = 0$ . Таких наборов всего четыре (значения записаны в «алфавитном» порядке $w,\ x,\ y,\ z$ ):

x	y	z
0	0	0
0	0	1
1	0	1
1	1	1

Значит, каждая строка фрагмента — это одна из этих четырёх строк, только с переставленными столбцами. Но в каком порядке идут сами строки фрагмента, неизвестно, поэтому соответствие «столбец → переменная» надёжнее всего установить перебором всех 24 расстановок.

Отдельно обратим внимание на условие: строки фрагмента различны. Это не украшение: если его не учитывать, подходящих расстановок получается 6. Поэтому проверка расстановки такая: для каждой строки фрагмента находим все её дополнения, дающие нужное значение $F$ , и убеждаемся, что из этих дополнений можно выбрать попарно различные строки.

Всё это удобно поручить программе. В Python импликация $a \rightarrow b$ — это a <= b, а эквиваленция $a \equiv b$ — это a == b.

from itertools import product, permutations

def F(w, x, y, z):
    return int(((not ((x == y) or (x == z))) or w) or (not (y <= z)))

# фрагмент таблицы: '.' — незаполненная клетка, второе число — значение F
frag = [('0.00', 0),
        ('1..1', 0),
        ('0...', 0),
        ('1.11', 0)]

def fits(mask, vals):
    return all(m == '.' or int(m) == v for m, v in zip(mask, vals))

for p in permutations('wxyz'):
    # для каждой строки фрагмента — все её допустимые дополнения
    variants = []
    for mask, f in frag:
        variants.append([vals for vals in product((0, 1), repeat=4)
                         if fits(mask, vals) and F(**dict(zip(p, vals))) == f])
    # строки фрагмента должны быть попарно различны
    for lines in product(*variants):
        if len(set(lines)) == len(lines):
            print(''.join(p))
            break

Программа печатает единственную расстановку — xwyz. Проверим её вручную. Столбцы идут в порядке

x,\ w,\ y,\ z

; восстановим пустые клетки (восстановленные значения выделены курсивом):

x	y	z
0	0	0
1	0	1
0	0	1
1	1	1

Все строки различны, известные клетки совпадают с фрагментом, и функция на них принимает требуемые значения — расстановка найдена верно.

Ответ: xwyz