Задание №2 — Построение таблицы истинности

#69793Задание №2ФИПИ

Алгебра логики

Миша заполнял таблицу истинности функции F
$( ( z \rightarrow y ) \rightarrow x ) \lor \neg w ,$
но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, х, у, z:

			F
0		0	0
1	0		0
	1		0

Определите, какому столбцу таблицы соответствует каждая из переменных w, х, у, z.

В ответе напишите буквы w, х, у, z в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.
Пример. Функция F задана выражением $\neg x \lor y ,$ зависящим от двух переменных, а фрагмент таблицы имеет следующий вид.

		F
0	1	0

В этом случае первому столбцу соответствует переменная y, а второму столбцу - переменная х. В ответе следует написать: yx.

Правильный ответ

wyzx

Пояснение

Решение:

Функция $F = ( ( z \rightarrow y ) \rightarrow x ) \lor \neg w$ зависит от четырёх переменных, поэтому её полная таблица истинности содержит $2^4 = 16$ строк, а расставить переменные w, x, y, z по четырём столбцам можно $4! = 24$ способами.

Найдём все наборы, на которых $F = 0$ . Таких наборов всего три (значения записаны в «алфавитном» порядке $w,\ x,\ y,\ z$ ):

w	y	z
1	0	0
1	1	0
1	1	1

Значит, каждая строка фрагмента — это одна из этих трёх строк, только с переставленными столбцами. Но в каком порядке идут сами строки фрагмента, неизвестно, поэтому соответствие «столбец → переменная» надёжнее всего установить перебором всех 24 расстановок.

Отдельно обратим внимание на условие: строки фрагмента различны. Поэтому проверка расстановки такая: для каждой строки фрагмента находим все её дополнения, дающие нужное значение $F$ , и убеждаемся, что из этих дополнений можно выбрать попарно различные строки.

Всё это удобно поручить программе. В Python импликация $a \rightarrow b$ — это a <= b.

from itertools import product, permutations

def F(w, x, y, z):
    return int(((z <= y) <= x) or (not w))

# фрагмент таблицы: '.' — незаполненная клетка, второе число — значение F
frag = [('.0.0', 0),
        ('.10.', 0),
        ('..1.', 0)]

def fits(mask, vals):
    return all(m == '.' or int(m) == v for m, v in zip(mask, vals))

for p in permutations('wxyz'):
    # для каждой строки фрагмента — все её допустимые дополнения
    variants = []
    for mask, f in frag:
        variants.append([vals for vals in product((0, 1), repeat=4)
                         if fits(mask, vals) and F(**dict(zip(p, vals))) == f])
    # строки фрагмента должны быть попарно различны
    for lines in product(*variants):
        if len(set(lines)) == len(lines):
            print(''.join(p))
            break

Программа печатает единственную расстановку — wyzx. Проверим её вручную. Столбцы идут в порядке

w,\ y,\ z,\ x

; восстановим пустые клетки (восстановленные значения выделены курсивом):

w	y	z
1	0	0
1	1	0
1	1	1

Все строки различны, известные клетки совпадают с фрагментом, и функция на них принимает требуемые значения — расстановка найдена верно.

Ответ: wyzx