Задание №17 — Прикладная задача на наибольшее значение

Решение.

Используя данные в условии формулы, выразим выделяемую тепловую мощность через ЭДС и сопротивление: $P = \dfrac{\varepsilon^2 R}{(r + R)^2}$. Подставив заданные значения $\varepsilon$ и $r$, получим функцию $P(R) = \dfrac{2500R}{(R + 1)^2}$. Найдём производную этой функции: $P'(R) = \dfrac{2500(1 - R)}{(R + 1)^3}$.

Поскольку сопротивление нагрузки не может быть отрицательным, будем рассматривать поведение функции $P(R)$ при $R \geqslant 0$. Производная положительна при $0 \leqslant R < 1$ и отрицательна при $R > 1$. Значит, функция $P(R)$ возрастает на отрезке $[0; 1]$ и убывает на луче $[1; +\infty)$. Следовательно, функция $P(R)$ достигает наибольшего значения в точке 1.

Таким образом, наибольшая тепловая мощность, которая может выделяться нагрузкой, равна 625 Вт.

Ответ: 625 Вт.