Задание №17 — Прикладная задача на наибольшее значение

Решение.

Так как $A > 0$, то максимумы $A$ и $A^2$ достигаются в одной точке. Положим $x = \tau^2$, $x > 0$. Достаточно исследовать на экстремум функцию $$A^2 = (k\theta_0)^2 f(x), \quad \text{где } f(x) = \frac{x^2}{x^2 + (n - 2)T^2 x + T^4} \ \text{при } x > 0.$$

Знаменатель при $x > 0$ положителен. Найдём производную: $$f'(x) = \frac{2x\left(x^2 + (n - 2)T^2 x + T^4\right) - x^2\left(2x + (n - 2)T^2\right)}{\left(x^2 + (n - 2)T^2 x + T^4\right)^2}.$$

После упрощения получаем $$f'(x) = \frac{T^2 x\left(2T^2 - (2 - n)x\right)}{\left(x^2 + (n - 2)T^2 x + T^4\right)^2}.$$

В области определения множители $T^2 x$ и знаменатель положительны, поэтому $$f'(x) = 0; \quad 2T^2 - (2 - n)x = 0; \quad x_0 = \frac{T^2}{1 - \frac{n}{2}}.$$

Так как $n = 0{,}0792$, то $f'(x) > 0$ при $0 < x < x_0$ и $f'(x) < 0$ при $x > x_0$, поэтому $x_0$ — точка максимума функции $f$. Следовательно, $$\tau = \frac{T}{\sqrt{1 - \frac{n}{2}}} = \frac{14{,}7}{\sqrt{1 - \frac{0{,}0792}{2}}} = \frac{14{,}7}{0{,}98} = 15.$$

Ответ: 15.