Задание №24 — Первое начало термодинамики

Решение:

Обозначения. $\nu=4$ моль — количество вещества гелия; $Q_{\text{нагр}}=120$ кДж $=1{,}2\cdot10^{5}$ Дж — теплота, полученная газом от нагревателя за цикл; по диаграмме состояния газа: $1\,(V_0;\,p_0)$, $2\,(V_0;\,2p_0)$, $3\,(4V_0;\,3p_0)$; $U$ — внутренняя энергия, $W$ — работа газа, $Q$ — количество теплоты (индексы указывают процесс); $T_2$ — искомая температура в состоянии 2; $R=8{,}31$ Дж/(моль$\cdot$К).

Гелий разрежённый — это одноатомный идеальный газ, для него $$U=\frac{3}{2}\nu RT=\frac{3}{2}pV,$$ где использовано уравнение Менделеева — Клапейрона $pV=\nu RT$.

Для каждого процесса применяем первый закон термодинамики $Q=\Delta U+W$; работа газа численно равна площади под графиком процесса на $pV$-диаграмме.

Участок 1 → 2 (изохорный, $V=V_0=\mathrm{const}$, давление растёт от $p_0$ до $2p_0$): $$W_{12}=0,\qquad Q_{12}=\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\bigl(2p_0V_0-p_0V_0\bigr)=1{,}5\,p_0V_0\gt0.$$ Газ получает теплоту.

Участок 2 → 3 (прямая из $(V_0;\,2p_0)$ в $(4V_0;\,3p_0)$). Работа газа — площадь трапеции под этим отрезком: $$W_{23}=\frac{2p_0+3p_0}{2}\,(4V_0-V_0)=\frac{5p_0}{2}\cdot3V_0=7{,}5\,p_0V_0,$$ $$\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\bigl(3p_0\cdot4V_0-2p_0\cdot V_0\bigr)=\frac{3}{2}\cdot10\,p_0V_0=15\,p_0V_0,$$ $$Q_{23}=\Delta U_{23}+W_{23}=22{,}5\,p_0V_0\gt0.$$ На этом участке и давление, и объём монотонно возрастают, поэтому произведение $pV$ (а с ним и внутренняя энергия) всё время растёт и газ всё время расширяется: элементарная теплота $\delta Q=dU+p\,dV\gt0$ в каждой точке. Значит, теплота подводится на всём участке 2 → 3.

Участок 3 → 1 (прямая из $(4V_0;\,3p_0)$ в $(V_0;\,p_0)$): здесь и давление, и объём монотонно убывают, поэтому $dU\lt0$ и $\delta W=p\,dV\lt0$ в каждой точке, то есть $\delta Q\lt0$ — газ на всём участке только отдаёт теплоту холодильнику. (Действительно, $W_{31}=-\dfrac{p_0+3p_0}{2}\cdot3V_0=-6\,p_0V_0$, $\Delta U_{31}=\dfrac{3}{2}(p_0V_0-12p_0V_0)=-16{,}5\,p_0V_0$, $Q_{31}=-22{,}5\,p_0V_0\lt0$.)

Теплота от нагревателя — это сумма теплот, полученных газом: $$Q_{\text{нагр}}=Q_{12}+Q_{23}=1{,}5\,p_0V_0+22{,}5\,p_0V_0=24\,p_0V_0.$$

Отсюда $$p_0V_0=\frac{Q_{\text{нагр}}}{24}=\frac{1{,}2\cdot10^{5}}{24}=5{,}0\cdot10^{3}\ \text{Дж}.$$

Температура в состоянии 2. Уравнение Менделеева — Клапейрона для состояния 2 ($p_2=2p_0$, $V_2=V_0$): $$2p_0V_0=\nu RT_2\quad\Rightarrow\quad T_2=\frac{2p_0V_0}{\nu R}.$$

Расчёт. $$T_2=\frac{2\cdot5{,}0\cdot10^{3}}{4\cdot8{,}31}\approx3{,}0\cdot10^{2}\ \text{К}\approx301\ \text{К}.$$

Проверка. Работа газа за цикл $W=W_{12}+W_{23}+W_{31}=0+7{,}5-6=1{,}5\,p_0V_0$ совпадает с площадью треугольника 1-2-3 на диаграмме $\left(\tfrac12\cdot p_0\cdot3V_0=1{,}5\,p_0V_0\right)$, а также с $Q_{12}+Q_{23}+Q_{31}=1{,}5\,p_0V_0$, как и требует первый закон термодинамики для замкнутого цикла.

Ответ: $T_2=\dfrac{2p_0V_0}{\nu R}=\dfrac{Q_{\text{нагр}}}{12\nu R}\approx301$ К $\approx3{,}0\cdot10^{2}$ К.