Задание №24 — Уравнение Менделеева-Клапейрона

Решение:

Обозначения. $M=10$ кг — масса поршня; $S=50$ см$^2$ $=5\cdot10^{-3}$ м$^2$ — площадь поперечного сечения; $a=1$ м/с$^2$ — модуль ускорения сосуда, направленного вертикально вверх; $p_0$ — искомое внешнее (наружное) давление; $p_1$ и $h_1$ — давление газа и высота столба газа в покоящемся сосуде; $p_2$ и $h_2=0{,}95\,h_1$ — те же величины при движении сосуда с ускорением; $T=\mathrm{const}$ — температура газа; $g=10$ м/с$^2$.

Газ разрежённый, поэтому считаем его идеальным. Стенки сосуда гладкие: трения между поршнем и стенками нет. Высота столба газа при ускоренном движении постоянна, значит, поршень покоится относительно сосуда и движется вместе с ним с тем же ускорением $a$. Поршень рассматриваем как материальную точку, второй закон Ньютона записываем в инерциальной системе отсчёта, связанной с землёй.

Покоящийся сосуд. На поршень действуют: сила тяжести $Mg$ (вниз), сила давления газа снизу $p_1S$ (вверх) и сила давления наружного газа сверху $p_0S$ (вниз). Поршень покоится, поэтому $$p_1S=p_0S+Mg\quad\Rightarrow\quad p_1=p_0+\frac{Mg}{S}.$$

Сосуд движется с ускорением $a$ вверх. Второй закон Ньютона для поршня в проекции на вертикальную ось, направленную вверх: $$Ma=p_2S-p_0S-Mg\quad\Rightarrow\quad p_2=p_0+\frac{M(g+a)}{S}.$$

Так как $a\gt0$, то $p_2\gt p_1$: газ дополнительно сжимается, что и объясняет уменьшение высоты столба.

Закон Бойля — Мариотта (масса газа и его температура постоянны), объём газа $V=hS$: $$p_1h_1S=p_2h_2S,\qquad h_2=0{,}95\,h_1\quad\Rightarrow\quad p_1=0{,}95\,p_2.$$

Подставим выражения для давлений: $$p_0+\frac{Mg}{S}=0{,}95\left(p_0+\frac{M(g+a)}{S}\right),$$ $$0{,}05\,p_0=\frac{M}{S}\bigl(0{,}95(g+a)-g\bigr),\qquad p_0=\frac{M\bigl(0{,}95(g+a)-g\bigr)}{0{,}05\,S}.$$

Расчёт. $$0{,}95(g+a)-g=0{,}95\cdot11-10=10{,}45-10=0{,}45\ \text{м/с}^2,$$ $$p_0=\frac{10\cdot0{,}45}{0{,}05\cdot5\cdot10^{-3}}=\frac{4{,}5}{2{,}5\cdot10^{-4}}=1{,}8\cdot10^{4}\ \text{Па}=18\ \text{кПа}.$$

Проверка. $p_1=1{,}8\cdot10^{4}+\dfrac{10\cdot10}{5\cdot10^{-3}}=3{,}8\cdot10^{4}$ Па, $p_2=1{,}8\cdot10^{4}+\dfrac{10\cdot11}{5\cdot10^{-3}}=4{,}0\cdot10^{4}$ Па; отношение $p_1/p_2=0{,}95$, то есть объём (и высота столба) действительно уменьшается на 5 %.

Ответ: $p_0=1{,}8\cdot10^{4}$ Па $=18$ кПа.