Задание №24 — Уравнение Менделеева-Клапейрона

Решение:

Обозначения. $S = 50$ см$^2 = 5\cdot 10^{-3}$ м$^2$ — площадь поршня; $m$ — искомая масса поршня; $p_0 = 28$ кПа $= 2{,}8\cdot 10^{4}$ Па — наружное давление; $a = 2$ м/с$^2$ — модуль ускорения сосуда, направленного вверх; $g = 10$ м/с$^2$; $h_1,\ p_1$ — высота столба газа и его давление в покоящемся сосуде; $h_2 = 0{,}95\,h_1,\ p_2$ — те же величины при движении с ускорением; $T = \mathrm{const}$.

Силы, действующие на поршень (стенки гладкие, трения нет): вниз — сила тяжести $m\vec{g}$ и сила давления наружного воздуха $p_0 S$; вверх — сила давления газа снизу $p S$.

1. Покоящийся сосуд. Поршень в равновесии:

$$p_1 S = p_0 S + mg \qquad\Longrightarrow\qquad p_1 = p_0 + \frac{mg}{S}.$$

2. Сосуд движется с ускорением $a$, направленным вверх. Высота столба газа постоянна, значит поршень движется вместе с сосудом с тем же ускорением. Второй закон Ньютона для поршня в проекции на вертикальную ось (вверх):

$$p_2 S - p_0 S - mg = ma \qquad\Longrightarrow\qquad p_2 = p_0 + \frac{m(g+a)}{S}.$$

3. Изотермический процесс. Масса газа постоянна, температура не меняется, объём газа $V = hS$, поэтому по закону Бойля — Мариотта

$$p_1 h_1 S = p_2 h_2 S,\qquad h_2 = 0{,}95\,h_1 \qquad\Longrightarrow\qquad p_2 = \frac{p_1}{0{,}95}.$$

4. Нахождение массы поршня. Подставим выражения для давлений:

$$0{,}95\left(p_0 + \frac{m(g+a)}{S}\right) = p_0 + \frac{mg}{S},$$

$$\frac{m}{S}\Bigl(0{,}95\,(g+a) - g\Bigr) = 0{,}05\,p_0 \qquad\Longrightarrow\qquad m = \frac{0{,}05\,p_0 S}{0{,}95\,(g+a) - g}.$$

Численно:

$$m = \frac{0{,}05\cdot 2{,}8\cdot 10^{4}\cdot 5\cdot 10^{-3}}{0{,}95\cdot 12 - 10} = \frac{7}{1{,}4} = 5\ \text{кг}.$$

Проверка. $p_1 = 28\,000 + \dfrac{5\cdot 10}{5\cdot 10^{-3}} = 38$ кПа, $p_2 = 28\,000 + \dfrac{5\cdot 12}{5\cdot 10^{-3}} = 40$ кПа; отношение $p_1/p_2 = 38/40 = 0{,}95$ действительно даёт уменьшение высоты столба газа на $5\,\%$.

Ответ: $m = 5$ кг.