Задание №24 — Влажность воздуха

Решение:

Обозначения. $T_1 = 373$ К ($100\ ^\circ\text{C}$) — начальная температура; $p_1 = 100$ кПа — начальное давление влажного воздуха; $\varphi_1 = 70\,\%$ — начальная относительная влажность; $p_{\text{н}}$ — давление насыщенного водяного пара при $100\ ^\circ\text{C}$; $p_{\text{п}1},\ p_{\text{в}1}$ — начальные парциальные давления водяного пара и сухого воздуха; $V_1$ — начальный объём; $p_2$ — давление после изотермического сжатия в $n = 3$ раза; $T_3$ — искомая температура при изохорном нагревании до того же давления $p_2$.

1. Давление насыщенного пара. При $100\ ^\circ\text{C}$ вода кипит при нормальном атмосферном давлении, то есть давление насыщенного водяного пара при этой температуре $p_{\text{н}} \approx 10^{5}$ Па $= 100$ кПа.

2. Парциальные давления в начальном состоянии. По определению относительной влажности $\varphi = p_{\text{п}}/p_{\text{н}}$:

$$p_{\text{п}1} = \varphi_1 p_{\text{н}} = 0{,}7\cdot 100 = 70\ \text{кПа}.$$

По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений, поэтому парциальное давление сухого воздуха

$$p_{\text{в}1} = p_1 - p_{\text{п}1} = 100 - 70 = 30\ \text{кПа}.$$

3. Изотермическое сжатие в 3 раза. Сухой воздух не конденсируется, для него справедлив закон Бойля — Мариотта:

$$p_{\text{в}2} = n\,p_{\text{в}1} = 3\cdot 30 = 90\ \text{кПа}.$$

Если бы и пар оставался ненасыщенным, его давление стало бы равным $3\cdot 70 = 210$ кПа, что больше $p_{\text{н}} = 100$ кПа. Это невозможно: часть пара конденсируется, и оставшийся пар оказывается насыщенным:

$$p_{\text{п}2} = p_{\text{н}} = 100\ \text{кПа}.$$

Тогда конечное давление

$$p_2 = p_{\text{в}2} + p_{\text{п}2} = 90 + 100 = 190\ \text{кПа}.$$

4. Изохорное нагревание. Если вместо сжатия газ нагревать при неизменном объёме, то пар только удаляется от насыщения ($p_{\text{н}}$ с ростом температуры растёт быстрее, чем давление пара при изохорном нагревании), конденсации нет, массы сухого воздуха и пара постоянны. Значит вся смесь ведёт себя как идеальный газ постоянной массы, и по закону Шарля

$$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_3}\qquad\Longrightarrow\qquad T_3 = T_1\,\frac{p_2}{p_1} = 373\cdot\frac{190}{100} \approx 709\ \text{К}.$$

Ответ: $T_3 = T_1\dfrac{p_2}{p_1} \approx 709$ К (примерно $7{,}1\cdot 10^{2}$ К, то есть около $436\ ^\circ\text{C}$).