Задание №24 — Внутренняя энергия идеального газа

Решение:

Обозначения. $S$ — площадь поршня; $L$ — начальное расстояние от основания цилиндра до поршня; $p_0$ — атмосферное давление, равное начальному давлению газа $p_1 = p_0$; $b$ — перемещение поршня вправо; $k$ — искомая жёсткость пружины; $Q$ — переданное газу количество теплоты; $V_1 = SL$ и $V_2 = S(L+b)$ — начальный и конечный объёмы газа; $p_2$ — конечное давление газа; $x$ — текущее смещение поршня от начального положения; $A$ — работа газа; $\Delta U$ — изменение внутренней энергии газа.

1. Начальная деформация пружины. Цилиндр горизонтальный, стенки гладкие: сила тяжести поршня уравновешена нормальной реакцией стенок и на баланс сил вдоль оси не влияет. Условие равновесия поршня вдоль оси в начальном состоянии: $p_1 S = p_0 S + F_{\text{упр}}$. Так как по условию $p_1 = p_0$, получаем $F_{\text{упр}} = 0$: в начальном состоянии пружина не деформирована, её длина в свободном состоянии равна $L$.

2. Давление газа при смещении поршня. При смещении поршня вправо на $x$ пружина, соединяющая поршень с основанием цилиндра, растягивается на $x$ и тянет поршень назад с силой $kx$ (закон Гука). Поршень перемещается медленно, поэтому в каждый момент он находится в равновесии:

$$p(x)\,S = p_0 S + kx \qquad\Longrightarrow\qquad p(x) = p_0 + \frac{kx}{S},\qquad p_2 = p_0 + \frac{kb}{S}.$$

3. Работа газа. Давление линейно зависит от объёма, поэтому работа равна площади трапеции под графиком $p(V)$:

$$A = \frac{p_1 + p_2}{2}\,\Delta V = \frac{1}{2}\left(p_0 + p_0 + \frac{kb}{S}\right)Sb = p_0 S b + \frac{k b^{2}}{2}.$$

4. Изменение внутренней энергии. Газ одноатомный идеальный, поэтому $U = \dfrac{3}{2}\nu R T = \dfrac{3}{2}pV$ (здесь $\nu$ — количество вещества газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — температура; использовано уравнение Менделеева — Клапейрона $pV = \nu R T$):

$$\Delta U = \frac{3}{2}\left(p_2V_2 - p_1V_1\right) = \frac{3}{2}\left[\left(p_0 + \frac{kb}{S}\right)S(L+b) - p_0 S L\right] = \frac{3}{2}\left(p_0 S b + k b L + k b^{2}\right).$$

5. Первый закон термодинамики. $Q = \Delta U + A$:

$$Q = \frac{3}{2}\left(p_0 S b + k b L + k b^{2}\right) + p_0 S b + \frac{k b^{2}}{2} = \frac{5}{2}p_0 S b + \frac{3}{2}k b L + 2 k b^{2}.$$

Умножив обе части на $2$, получаем

$$2Q = 5 p_0 S b + k b\left(3L + 4b\right) \qquad\Longrightarrow\qquad k = \frac{2Q - 5 p_0 S b}{b\,(3L + 4b)}.$$

Ответ: $k = \dfrac{2Q - 5 p_0 S b}{b\,(3L + 4b)}$.