Задание №24 — Влажность воздуха

Решение:

Обозначения. $V=10$ л $=1{,}0\cdot10^{-2}$ м$^3$ — объём сосуда; $m=18$ г — масса влажного воздуха; $t=80^{\circ}\mathrm{C}$, $T=t+273=353$ К; $m_{\text{п}}=1{,}5$ г — масса водяного пара; $m_{\text{в}}$ — масса сухого воздуха; $M_{\text{в}}=29$ г/моль и $M_{\text{п}}=18$ г/моль — молярные массы сухого воздуха и воды; $p$ — искомое давление влажного воздуха; $R=8{,}31$ Дж/(моль$\cdot$К).

Влажный воздух — смесь сухого воздуха и водяного пара; жидкой воды в сосуде нет, оба компонента считаем идеальными газами.

Масса смеси равна сумме масс компонентов: $$m_{\text{в}}+m_{\text{п}}=m\quad\Rightarrow\quad m_{\text{в}}=m-m_{\text{п}}.$$

Закон Дальтона: $p=p_{\text{в}}+p_{\text{п}}$, где $p_{\text{в}}$ и $p_{\text{п}}$ — парциальные давления сухого воздуха и пара.

Уравнение Менделеева — Клапейрона для каждого компонента (каждый занимает весь объём $V$): $$p_{\text{в}}V=\frac{m_{\text{в}}}{M_{\text{в}}}RT,\qquad p_{\text{п}}V=\frac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}RT.$$

Складывая, получаем $$pV=\left(\frac{m-m_{\text{п}}}{M_{\text{в}}}+\frac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}\right)RT,\qquad\text{откуда}\qquad p=\left(\frac{m-m_{\text{п}}}{M_{\text{в}}}+\frac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}\right)\frac{RT}{V}.$$

Расчёт. Масса сухого воздуха $m_{\text{в}}=18-1{,}5=16{,}5$ г. Количества вещества: $$\nu_{\text{в}}=\frac{16{,}5}{29}\approx0{,}569\ \text{моль},\qquad \nu_{\text{п}}=\frac{1{,}5}{18}\approx0{,}083\ \text{моль},\qquad \nu=\nu_{\text{в}}+\nu_{\text{п}}\approx0{,}652\ \text{моль}.$$

Тогда $$p=\frac{\nu RT}{V}=\frac{0{,}652\cdot8{,}31\cdot353}{1{,}0\cdot10^{-2}}\approx1{,}9\cdot10^{5}\ \text{Па}\approx191\ \text{кПа}.$$

Проверка. Парциальное давление пара $$p_{\text{п}}=\frac{\nu_{\text{п}}RT}{V}=\frac{0{,}083\cdot8{,}31\cdot353}{1{,}0\cdot10^{-2}}\approx2{,}4\cdot10^{4}\ \text{Па}$$ меньше давления насыщенного пара при $80^{\circ}\mathrm{C}$ (около $4{,}7\cdot10^{4}$ Па), поэтому пар ненасыщенный, конденсата нет и применение уравнения Менделеева — Клапейрона к пару законно.

Ответ: $p\approx1{,}9\cdot10^{5}$ Па $\approx191$ кПа.