Задание №24 — Уравнение Менделеева-Клапейрона

Решение:

Обозначения. $\nu = 1$ моль — количество воздуха, находившееся вначале в каждой из частей сосуда; $T$ — постоянная температура; $R$ — универсальная газовая постоянная; $V$ — полный объём сосуда (постоянен); $A$ — площадь поршня, $m$ — его масса, $g$ — ускорение свободного падения; $V_{\text{в}1},\ V_{\text{н}1}$ и $V_{\text{в}2},\ V_{\text{н}2}$ — объёмы верхней и нижней частей в начальном и конечном состояниях; $p_{\text{в}1},\ p_{\text{н}1}$ и $p_{\text{в}2},\ p_{\text{н}2}$ — соответствующие давления; $\nu_{\text{в}2}$ — количество воздуха в верхней части в конце; $\Delta\nu$ — удалённое количество воздуха.

1. Объёмы частей. Сосуд закрыт, объём поршня не учитываем, поэтому $V_{\text{в}} + V_{\text{н}} = V = \mathrm{const}$. Из условий $V_{\text{в}1} : V_{\text{н}1} = 2 : 1$ и $V_{\text{в}2} : V_{\text{н}2} = 2 : 3$ получаем

$$V_{\text{в}1} = \frac{2}{3}V,\quad V_{\text{н}1} = \frac{1}{3}V;\qquad V_{\text{в}2} = \frac{2}{5}V,\quad V_{\text{н}2} = \frac{3}{5}V.$$

Верхняя часть уменьшилась, нижняя увеличилась — поршень поднялся, что естественно: из верхней части убрали воздух и её давление упало.

2. Условие равновесия поршня. Поршень скользит без трения, на него действуют сила тяжести $mg$ (вниз), сила давления верхнего газа $p_{\text{в}}A$ (вниз) и сила давления нижнего газа $p_{\text{н}}A$ (вверх). В равновесии

$$p_{\text{н}}A = p_{\text{в}}A + mg \qquad\Longrightarrow\qquad p_{\text{н}} - p_{\text{в}} = \frac{mg}{A} = \mathrm{const}.$$

Эта разность одинакова в обоих состояниях равновесия:

$$p_{\text{н}1} - p_{\text{в}1} = p_{\text{н}2} - p_{\text{в}2}.$$

3. Давления в начальном состоянии (уравнение Менделеева — Клапейрона $pV = \nu R T$, в каждой части по $\nu = 1$ моль):

$$p_{\text{в}1} = \frac{\nu R T}{V_{\text{в}1}} = \frac{3\nu R T}{2V},\qquad p_{\text{н}1} = \frac{\nu R T}{V_{\text{н}1}} = \frac{3\nu R T}{V},\qquad p_{\text{н}1} - p_{\text{в}1} = \frac{3\nu R T}{2V}.$$

4. Давления в конечном состоянии. Из нижней части воздух не удаляли, там по-прежнему $\nu = 1$ моль:

$$p_{\text{н}2} = \frac{\nu R T}{V_{\text{н}2}} = \frac{5\nu R T}{3V}.$$

Тогда из условия равновесия поршня

$$p_{\text{в}2} = p_{\text{н}2} - \frac{3\nu R T}{2V} = \frac{5\nu R T}{3V} - \frac{3\nu R T}{2V} = \frac{10\nu R T - 9\nu R T}{6V} = \frac{\nu R T}{6V} \gt 0.$$

5. Количество воздуха в верхней части и ответ. Из уравнения Менделеева — Клапейрона для верхней части в конечном состоянии:

$$\nu_{\text{в}2} = \frac{p_{\text{в}2}V_{\text{в}2}}{RT} = \frac{1}{RT}\cdot\frac{\nu R T}{6V}\cdot\frac{2V}{5} = \frac{\nu}{15}.$$

Следовательно, удалено

$$\Delta\nu = \nu - \nu_{\text{в}2} = \nu - \frac{\nu}{15} = \frac{14\nu}{15} = \frac{14}{15} \approx 0{,}93\ \text{моль}.$$

Ответ: $\Delta\nu = \dfrac{14}{15}\ \text{моль} \approx 0{,}93$ моль.