Задание №24 — Воздухоплавание

Решение:

Обозначения. $M=60$ кг — масса изобретателя; $V=15$ л $=1{,}5\cdot10^{-2}$ м$^3$ — объём одного шара; $p_0=1{,}0\cdot10^{5}$ Па — нормальное атмосферное давление; $T=27^{\circ}\mathrm{C}=300$ К — температура окружающего воздуха; $M_{\text{в}}=29\cdot10^{-3}$ кг/моль и $M_{\text{г}}=4\cdot10^{-3}$ кг/моль — молярные массы воздуха и гелия; $\rho_{\text{в}}$ и $\rho_{\text{г}}$ — плотности воздуха и гелия; $N$ — искомое минимальное число шаров; $R=8{,}31$ Дж/(моль$\cdot$К); $g=10$ м/с$^2$.

Оболочки невесомы и неупруги, поэтому давление гелия внутри каждого шара равно наружному атмосферному давлению $p_0$, а температура гелия из-за теплового равновесия с окружающим воздухом равна $T$. И воздух, и гелий считаем идеальными газами.

Плотность идеального газа находим из уравнения Менделеева — Клапейрона $pV=\dfrac{m}{M}RT$, где $\rho=\dfrac{m}{V}$: $$\rho=\frac{pM}{RT}.$$ Для воздуха и для гелия при одинаковых $p_0$ и $T$: $$\rho_{\text{в}}=\frac{p_0M_{\text{в}}}{RT},\qquad \rho_{\text{г}}=\frac{p_0M_{\text{г}}}{RT}.$$

Условие подъёма. На каждый шар со стороны воздуха действует сила Архимеда $F_{\text{А}}=\rho_{\text{в}}Vg$, направленная вверх. Вниз действуют сила тяжести изобретателя $Mg$ и сила тяжести гелия во всех шарах $N\rho_{\text{г}}Vg$ (массой оболочек и силой Архимеда, действующей на самого изобретателя, пренебрегаем). Чтобы система смогла подняться, равнодействующая должна быть направлена вверх, то есть (по второму закону Ньютона при $a\ge0$): $$N\rho_{\text{в}}Vg\ \ge\ Mg+N\rho_{\text{г}}Vg.$$

Отсюда $$N\,(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{г}})V\ \ge\ M,\qquad N\ \ge\ \frac{M}{(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{г}})V}=\frac{MRT}{p_0V\,(M_{\text{в}}-M_{\text{г}})}.$$

Расчёт. Разность плотностей $$\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{г}}=\frac{p_0(M_{\text{в}}-M_{\text{г}})}{RT}=\frac{1{,}0\cdot10^{5}\cdot(29-4)\cdot10^{-3}}{8{,}31\cdot300}\approx1{,}0\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}.$$

Подъёмная сила одного шара соответствует массе $$(\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{г}})V\approx1{,}0\cdot1{,}5\cdot10^{-2}\approx1{,}50\cdot10^{-2}\ \text{кг}.$$

Тогда $$N\ \ge\ \frac{60}{1{,}504\cdot10^{-2}}\approx3{,}99\cdot10^{3}\approx3989.$$

Число шаров целое, поэтому минимальное значение $N=3989$ (примерно четыре тысячи шаров).

Ответ: $N\approx3989$ шаров (около $4\cdot10^{3}$).