Задание №24 — Влажность воздуха

Решение:

Обозначения. $V=10$ л $=1{,}0\cdot10^{-2}$ м$^3$ — объём сосуда; $m=18$ г — масса влажного воздуха в сосуде; $t=80^{\circ}\mathrm{C}$, $T=t+273=353$ К — абсолютная температура; $p=2\cdot10^{5}$ Па — давление влажного воздуха; $m_{\text{п}}$ — искомая масса водяного пара; $m_{\text{в}}$ — масса сухого воздуха; $M_{\text{в}}=29$ г/моль и $M_{\text{п}}=18$ г/моль — молярные массы сухого воздуха и воды; $R=8{,}31$ Дж/(моль$\cdot$К) — универсальная газовая постоянная.

Влажный воздух — это смесь двух газов: сухого воздуха и водяного пара. Пар ненасыщенный (в предельном случае — насыщенный), жидкой воды в сосуде нет, поэтому оба компонента считаем идеальными газами.

Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме парциальных давлений её компонентов: $$p=p_{\text{в}}+p_{\text{п}},$$ где $p_{\text{в}}$ и $p_{\text{п}}$ — парциальные давления сухого воздуха и пара.

Уравнение Менделеева — Клапейрона для каждого компонента (каждый занимает весь объём сосуда): $$p_{\text{в}}V=\frac{m_{\text{в}}}{M_{\text{в}}}RT,\qquad p_{\text{п}}V=\frac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}RT.$$

Складывая эти два уравнения и используя закон Дальтона, получаем уравнение состояния смеси: $$pV=\left(\frac{m_{\text{в}}}{M_{\text{в}}}+\frac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}\right)RT.$$

Масса смеси складывается из масс компонентов: $m_{\text{в}}+m_{\text{п}}=m$, откуда $m_{\text{в}}=m-m_{\text{п}}$. Подставим это в уравнение состояния: $$\frac{pV}{RT}=\frac{m-m_{\text{п}}}{M_{\text{в}}}+\frac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}=\frac{m}{M_{\text{в}}}+m_{\text{п}}\left(\frac{1}{M_{\text{п}}}-\frac{1}{M_{\text{в}}}\right)=\frac{m}{M_{\text{в}}}+m_{\text{п}}\,\frac{M_{\text{в}}-M_{\text{п}}}{M_{\text{п}}M_{\text{в}}}.$$

Выражаем искомую массу пара: $$m_{\text{п}}=\frac{M_{\text{п}}M_{\text{в}}}{M_{\text{в}}-M_{\text{п}}}\left(\frac{pV}{RT}-\frac{m}{M_{\text{в}}}\right).$$

Расчёт. Полное количество вещества смеси $$\nu=\frac{pV}{RT}=\frac{2\cdot10^{5}\cdot1{,}0\cdot10^{-2}}{8{,}31\cdot353}\approx0{,}682\ \text{моль};$$ $$\frac{m}{M_{\text{в}}}=\frac{18}{29}\approx0{,}621\ \text{моль};\qquad \frac{M_{\text{п}}M_{\text{в}}}{M_{\text{в}}-M_{\text{п}}}=\frac{18\cdot29}{29-18}=\frac{522}{11}\approx47{,}5\ \text{г/моль}.$$

Тогда $$m_{\text{п}}\approx47{,}5\cdot(0{,}682-0{,}621)\approx47{,}5\cdot0{,}0611\approx2{,}9\ \text{г}.$$

Проверка. Парциальное давление пара при такой массе $$p_{\text{п}}=\frac{m_{\text{п}}}{M_{\text{п}}}\cdot\frac{RT}{V}=\frac{2{,}9}{18}\cdot\frac{8{,}31\cdot353}{1{,}0\cdot10^{-2}}\approx4{,}7\cdot10^{4}\ \text{Па},$$ что не превышает давления насыщенного водяного пара при $80^{\circ}\mathrm{C}$ (около $4{,}7\cdot10^{4}$ Па). Значит, конденсации нет и решение непротиворечиво.

Ответ: $m_{\text{п}}\approx2{,}9$ г.