Задание №24 — Влажность воздуха

Решение:

Обозначения. $T_1 = 373$ К ($100\ ^\circ\text{C}$) — начальная температура; $p_1 = 100$ кПа — начальное давление влажного воздуха; $\varphi_1 = 60\,\%$ — начальная относительная влажность; $p_{\text{н}}$ — давление насыщенного водяного пара при $100\ ^\circ\text{C}$; $p_{\text{п}1},\ p_{\text{в}1}$ — начальные парциальные давления водяного пара и сухого воздуха; $n = 2{,}5$ — во столько раз изотермически уменьшают объём; $p_2$ — получающееся при этом давление; $T_3$ — температура, до которой надо нагреть смесь при постоянном объёме, чтобы получить то же давление $p_2$.

1. Давление насыщенного пара. При $100\ ^\circ\text{C}$ вода кипит при нормальном атмосферном давлении, поэтому давление насыщенного водяного пара при этой температуре $p_{\text{н}} \approx 10^{5}$ Па $= 100$ кПа.

2. Парциальные давления в начальном состоянии. По определению относительной влажности $\varphi = p_{\text{п}}/p_{\text{н}}$:

$$p_{\text{п}1} = \varphi_1 p_{\text{н}} = 0{,}6\cdot 100 = 60\ \text{кПа},$$

а по закону Дальтона парциальное давление сухого воздуха

$$p_{\text{в}1} = p_1 - p_{\text{п}1} = 100 - 60 = 40\ \text{кПа}.$$

3. Изотермическое сжатие в 2,5 раза. Сухой воздух не конденсируется, для него справедлив закон Бойля — Мариотта:

$$p_{\text{в}2} = n\,p_{\text{в}1} = 2{,}5\cdot 40 = 100\ \text{кПа}.$$

Для пара формальное применение закона Бойля — Мариотта дало бы $2{,}5\cdot 60 = 150$ кПа $\gt p_{\text{н}} = 100$ кПа, что невозможно: часть пара конденсируется, а оставшийся пар становится насыщенным, $p_{\text{п}2} = p_{\text{н}} = 100$ кПа. Тогда

$$p_2 = p_{\text{в}2} + p_{\text{п}2} = 100 + 100 = 200\ \text{кПа}.$$

4. Изохорное нагревание. При нагревании пар только удаляется от насыщения, конденсации нет, массы сухого воздуха и пара постоянны, поэтому смесь ведёт себя как идеальный газ неизменной массы и по закону Шарля

$$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_3} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{T_3}{T_1} = \frac{p_2}{p_1} = \frac{200}{100} = 2.$$

Численно $T_3 = 2\cdot 373 = 746$ К.

Ответ: абсолютную температуру надо увеличить в $2$ раза (до $T_3 = 746$ К).