Задание №24 — Воздухоплавание

Решение:

Обозначения. $\sigma = 2$ кг/м$^2$ — масса одного квадратного метра материала оболочки (поверхностная плотность); $r$ — радиус шара; $S = 4\pi r^{2}$ — площадь оболочки; $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ — объём шара; $p = 10^{5}$ Па — давление гелия внутри и воздуха снаружи; $T = 273$ К — температура; $M_{\text{в}} = 0{,}029$ кг/моль и $M_{\text{г}} = 0{,}004$ кг/моль — молярные массы воздуха и гелия; $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная; $\rho_{\text{в}},\ \rho_{\text{г}}$ — плотности воздуха и гелия; $m_{\text{об}}$ — масса оболочки; $m_{\text{г}}$ — масса гелия; $g$ — ускорение свободного падения.

1. Условие подъёма. Шар начнёт подниматься («поднимать сам себя»), когда действующая на него архимедова сила станет не меньше суммарного веса оболочки и гелия:

$$\rho_{\text{в}} V g \ \ge\ m_{\text{об}} g + m_{\text{г}} g,\qquad m_{\text{г}} = \rho_{\text{г}} V,\qquad m_{\text{об}} = \sigma S = 4\pi\sigma r^{2}.$$

Подставляя $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ и сокращая на $4\pi r^{2} g$, получаем

$$\left(\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{г}}\right)\frac{r}{3} \ \ge\ \sigma \qquad\Longrightarrow\qquad r \ \ge\ r_{\min} = \frac{3\sigma}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{г}}}.$$

2. Плотности газов. Из уравнения Менделеева — Клапейрона $pV = \dfrac{m}{M}RT$ следует $\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{pM}{RT}$. Давления и температуры гелия и наружного воздуха одинаковы, поэтому

$$\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{г}} = \frac{p\left(M_{\text{в}} - M_{\text{г}}\right)}{RT} = \frac{10^{5}\cdot\left(0{,}029 - 0{,}004\right)}{8{,}31\cdot 273} \approx 1{,}10\ \text{кг/м}^{3}.$$

3. Минимальный радиус и минимальная масса.

$$r_{\min} = \frac{3\cdot 2}{1{,}10} \approx 5{,}4\ \text{м}.$$

Масса оболочки $m_{\text{об}} = 4\pi\sigma r^{2}$ растёт с ростом радиуса, поэтому наименьшая масса оболочки, при которой шар уже способен подняться, отвечает наименьшему допустимому радиусу:

$$m_{\min} = 4\pi\sigma r_{\min}^{2} = \frac{36\pi\sigma^{3}}{\left(\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{г}}\right)^{2}} = \frac{36\pi\cdot 2^{3}}{1{,}10^{2}} \approx 7{,}5\cdot 10^{2}\ \text{кг}.$$

(Численно $m_{\min}\approx 745$ кг при радиусе шара $r_{\min}\approx 5{,}4$ м.)

Ответ: $m_{\min} \approx 7{,}5\cdot 10^{2}$ кг (около $745$ кг); соответствующий радиус шара $r_{\min}\approx 5{,}4$ м.