Задание №24 — Уравнение Менделеева-Клапейрона

Решение:

Обозначения. $p_0 = 760$ мм рт. ст. — атмосферное давление; $l = 76$ мм — длина столбика ртути (создаваемое им гидростатическое давление, выраженное в миллиметрах ртутного столба, равно $76$ мм рт. ст.); $S$ — площадь поперечного сечения трубки; $\rho$ — плотность ртути; $p_1,\ V_1$ — давление и объём влажного воздуха в горизонтальном положении трубки, $p_2,\ V_2$ — в вертикальном; $p_{\text{н}}$ — давление насыщенного водяного пара при данной температуре; $p_{\text{п}1},\ p_{\text{п}2}$ — парциальные давления водяного пара в этих состояниях; $\varphi = p_{\text{п}}/p_{\text{н}}$ — относительная влажность.

1. Давление воздуха в горизонтальной трубке. Столбик ртути покоится. В горизонтальной трубке сила тяжести направлена поперёк оси и уравновешена реакцией стенок, поэтому давления на левом и правом торцах столбика одинаковы. Условие равновесия столбика в проекции на ось трубки: $p_1 S = p_0 S$, откуда

$$p_1 = p_0 = 760\ \text{мм рт. ст.}$$

2. Давление воздуха в вертикальной трубке. Трубка запаяна сверху и открыта снизу, значит влажный воздух находится над ртутью, а атмосфера давит на столбик снизу. Условие равновесия столбика ртути в проекции на вертикальную ось: $p_0 S = p_2 S + \rho g l S$, откуда $p_2 = p_0 - \rho g l$. В миллиметрах ртутного столба

$$p_2 = 760 - 76 = 684\ \text{мм рт. ст.}$$

3. Изотермическое расширение влажного воздуха. Давление газа уменьшилось, воздух расширился, поэтому водяной пар только удаляется от насыщения — конденсации нет, и массы сухого воздуха и пара остаются неизменными. Влажный воздух — смесь идеальных газов, для которой по закону Дальтона $p = p_{\text{сух}} + p_{\text{п}}$, а при $T = \mathrm{const}$ закон Бойля — Мариотта справедлив и для смеси в целом, и для каждой её компоненты:

$$p_1V_1 = p_2V_2,\qquad p_{\text{п}1}V_1 = p_{\text{п}2}V_2 .$$

Разделив второе равенство на первое, получаем

$$\frac{p_{\text{п}2}}{p_{\text{п}1}} = \frac{V_1}{V_2} = \frac{p_2}{p_1}.$$

4. Относительная влажность. Температура не изменилась, значит давление насыщенного пара $p_{\text{н}}$ то же самое, и

$$\varphi_2 = \frac{p_{\text{п}2}}{p_{\text{н}}} = \frac{p_{\text{п}1}}{p_{\text{н}}}\cdot\frac{p_2}{p_1} = \varphi_1\,\frac{p_2}{p_1} = 80\,\%\cdot\frac{684}{760} = 80\,\%\cdot 0{,}9 = 72\,\%.$$

Полученное значение меньше $100\,\%$, что подтверждает сделанное предположение об отсутствии конденсации.

Ответ: $\varphi_2 = 72\,\%$.