Задание №24 — Воздухоплавание

Решение:

Обозначения. $\sigma$ — искомая масса одного квадратного метра материала оболочки (поверхностная плотность); $r$ — радиус шара; $S = 4\pi r^{2}$ — площадь оболочки, $V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ — объём шара; $m_{\text{об}} = \sigma S$ — масса оболочки; $\rho_{\text{в}}$ и $\rho_{\text{г}}$ — плотности воздуха и гелия; $M_{\text{в}} = 0{,}029$ кг/моль и $M_{\text{г}} = 0{,}004$ кг/моль — их молярные массы; $p = 10^{5}$ Па — давление гелия и воздуха; $T = 0\ ^\circ\text{C} = 273$ К; $m = 500$ кг — минимальная масса оболочки, при которой шар поднимает сам себя; $g$ — ускорение свободного падения; $R = 8{,}31\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$.

1. Условие подъёма. Шар начнёт подниматься, когда архимедова сила станет не меньше суммарной силы тяжести оболочки и гелия:

$$\rho_{\text{в}} V g \ge \left(\sigma S + \rho_{\text{г}} V\right) g .$$

Подставим формулы для $V$ и $S$:

$$\frac{4}{3}\pi r^{3}\left(\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{г}}\right) \ge 4\pi r^{2}\sigma \quad \Longrightarrow \quad r \ge \frac{3\sigma}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{г}}} .$$

Подъёмная сила растёт как $r^{3}$, а вес оболочки — как $r^{2}$, поэтому у шара из данного материала есть минимальный радиус $r_{\min} = \dfrac{3\sigma}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{г}}}$, а ему отвечает минимальная масса оболочки

$$m = \sigma \cdot 4\pi r_{\min}^{2} = 4\pi\sigma\left(\frac{3\sigma}{\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{г}}}\right)^{2} = \frac{36\pi\sigma^{3}}{\left(\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{г}}\right)^{2}} .$$

2. Плотности газов. Воздух и гелий считаем идеальными газами; из уравнения Менделеева — Клапейрона $pV = \dfrac{m}{M}RT$ следует $\rho = \dfrac{pM}{RT}$. Так как давления и температуры гелия и воздуха одинаковы,

$$\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{г}} = \frac{p\left(M_{\text{в}} - M_{\text{г}}\right)}{RT}.$$

3. Выражаем $\sigma$.

$$\sigma^{3} = \frac{m\left(\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{г}}\right)^{2}}{36\pi} \quad \Longrightarrow \quad \sigma = \sqrt[3]{\frac{m}{36\pi}\left(\frac{p\left(M_{\text{в}} - M_{\text{г}}\right)}{RT}\right)^{2}} .$$

4. Численный расчёт.

$$\rho_{\text{в}} - \rho_{\text{г}} = \frac{10^{5}\cdot\left(0{,}029 - 0{,}004\right)}{8{,}31\cdot 273} = \frac{2500}{2269} \approx 1{,}10\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^{3}},$$

$$\sigma = \sqrt[3]{\frac{500 \cdot 1{,}10^{2}}{36\pi}} = \sqrt[3]{\frac{605}{113}} \approx \sqrt[3]{5{,}4} \approx 1{,}75\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^{2}} .$$

Проверка правдоподобия. Такому $\sigma$ отвечает $r_{\min} = \dfrac{3\cdot 1{,}75}{1{,}10} \approx 4{,}8$ м, тогда $S = 4\pi r_{\min}^{2} \approx 286\ \text{м}^{2}$ и $m_{\text{об}} = \sigma S \approx 500$ кг — совпадает с условием; объём $V \approx 454\ \text{м}^{3}$, вытесняемая масса воздуха $\approx 580$ кг, масса гелия $\approx 80$ кг, и $580 - 80 = 500$ кг — баланс сходится.

Ответ: $\sigma = \sqrt[3]{\dfrac{m}{36\pi}\left(\dfrac{p\left(M_{\text{в}} - M_{\text{г}}\right)}{RT}\right)^{2}} \approx 1{,}75\ \text{кг/м}^{2}$.