Задание №24 — Уравнение Менделеева-Клапейрона

Решение:

Обозначения. $l = 100$ мм — длина столбика ртути; $p_{\text{а}} = 760$ мм рт. ст. — атмосферное давление; $p_1,\ p_2$ — полные давления влажного воздуха в трубке в горизонтальном и в вертикальном положениях; $V_1,\ V_2$ — соответствующие объёмы влажного воздуха; $p_{\text{п}1},\ p_{\text{п}2}$ — парциальные давления водяного пара; $p_{\text{н}}$ — давление насыщенного пара при данной (постоянной) температуре; $\varphi_1 = 60\%$ и $\varphi_2$ — относительные влажности. Все давления удобно выражать в миллиметрах ртутного столба.

1. Давление воздуха в трубке. В горизонтальном положении столбик ртути не давит на газ своим весом, и условие равновесия столбика даёт

$$p_1 = p_{\text{а}} = 760\ \text{мм рт. ст.}$$

Когда трубку ставят вертикально открытым концом вверх, запаянный конец оказывается внизу, и газ снизу удерживает и атмосферу, и вес столбика ртути:

$$p_2 = p_{\text{а}} + l = 760 + 100 = 860\ \text{мм рт. ст.}$$

2. Изотермическое сжатие. Температура постоянна, количество вещества влажного воздуха в трубке не меняется, конденсации нет (это проверим в конце). Тогда для влажного воздуха справедлив закон Бойля — Мариотта:

$$p_1 V_1 = p_2 V_2 \quad \Longrightarrow \quad \frac{V_1}{V_2} = \frac{p_2}{p_1} = \frac{860}{760}.$$

Газ сжался, значит парциальное давление пара выросло.

3. Парциальное давление пара. По закону Дальтона пар ведёт себя независимо от сухого воздуха, поэтому для него отдельно справедлив закон Бойля — Мариотта:

$$p_{\text{п}1} V_1 = p_{\text{п}2} V_2 \quad \Longrightarrow \quad p_{\text{п}2} = p_{\text{п}1}\,\frac{V_1}{V_2} = p_{\text{п}1}\,\frac{p_2}{p_1}.$$

4. Относительная влажность. По определению $\varphi = \dfrac{p_{\text{п}}}{p_{\text{н}}}$, а $p_{\text{н}}$ зависит только от температуры и потому не меняется. Разделив предыдущее равенство на $p_{\text{н}}$, получаем

$$\varphi_2 = \varphi_1\,\frac{p_2}{p_1} = \varphi_1\,\frac{p_{\text{а}} + l}{p_{\text{а}}}.$$

5. Численный расчёт.

$$\varphi_2 = 60\% \cdot \frac{860}{760} \approx 60\% \cdot 1{,}13 \approx 68\%.$$

Проверка. Получилось $\varphi_2 \approx 68\% \lt 100\%$, то есть пар остался ненасыщенным и конденсации действительно не было — сделанное допущение верно. Влажность выросла, как и должно быть при сжатии газа при неизменной температуре.

Ответ: $\varphi_2 = \varphi_1\dfrac{p_{\text{а}} + l}{p_{\text{а}}} \approx 68\%$.